Wednesday, October 31, 2018

Co u diabla z ta szybkoscia swiatla!

   Uprzedni wpis https://bobolowisko.blogspot.com/2018/09/czym-wlasciwie-jest-foton.html , zaproponowal nowy model fotonu, ktory to model zrywa z einsteinowskim postulatem stalej szybkosci przemieszczania sie fotonu wzgledem dowolnego inercjalnego ukladu odniesienia. Przypominam, ze inercjalny uklad odniesienia to uklad wspolrzednych przesuwajacy sie w troj-wymiarowej i zapewne euklidowej przestrzeni naszego Kosmosu ruchem prostoliniowym o stalej predkosci wzgledem  jakiegos dowolnego innego ukladu odniesienia. Czym jest zatem ow poczatkowy uklad odniesienia?  W mechanice klasycznej byl nim hipotetyczny osrodek zwany eterem wypelniajacy caly dostepny nam Wszechswiat (czyli Kosmos).  Chociaz samo istnienie owego eteru bylo tylko slabo uzasadniona hipoteza to w praktycznych rozwazaniach przejawial sie on w postaci stalych znanych jako dielektryczna przenikalnosc prozni  e oraz jej magnetyczna podatnosc k albo inaczej - jako stala elektryczna oraz stala magnetyczna prozni (czyli owego "eteru"). Wielkosci te wchodza jako dzielniki praw Coulomba opisujacych oddzialywanie pomiedzy ladunkami elektrycznymi i monopolami magnetycznymi w prozni. Same definicje stosownych sil oddzialywania pomiedzy ladunkami elektrycznymi oraz "biegunami" magnetycznymi sa podane nizej:
    Dla  ladunkow elektrycznych Q(1) oraz Q(2) oddalonych o odleglosc r  wielkosc sily oddzialywania F wynosi 


               F [el] = Q(1) Q(2)/ [ 4 Pi e r^2]

Podobnie dla "mas" magnetycznych M(1) i M(2) mamy (w ukladzie SI)

               F[mag] = M(1) M(2) /[ 4 Pi k r^2] 

Ladunki elektryczne podane sa w Coulombach (A sec) a magnetyczne w weberach ( 1 Wb= 1V sec)

Zauwazmy, ze nie mamy wyzej zaleznosci opisujacej statyczne oddzialywanie ladunku elektrycznego z ladunkiem magnetycznym. Wroce do tego zagadnienia pozniej.

 Postac tych zaleznosci rozni sie  nieco w zaleznosci od ukladu jednostek. Tu podaje wszystkie wielkosci w ukladzie MKSA znanym tez jako SI.  Rozwazania, ktorych tu nie bede przytaczal prowadza do konkluzji wiazacej stale elektryczne i magnetyczne "eteru" z szybkoscia swiatla . 

       1/c^2 = e k

      Jest to istotna zaleznosc mowiaca nam, ze szybkosc swiatla stanowi faktycznie wlasciwosc "eteru" czyli prozni, ktora jest wiec owym osrodkiem w ktorym porusza sie fala elektromagnetyczna i w ktorym odbywaja sie drgania wektorow natezenia pola elektrycznego  i pola magnetycznego. Jest to tez, rzecz jasna , osrodek przez ktory przedziera sie foton.  W codziennej praktyce monochromatyczne promieniowanie jest wytwarzane w wyniku wewnatrz -atomowego "przebicia" podczas ktorego elektron z wyzszego poziomu energetycznego przeskakuje na poziom nizszy. 

     Swego czasu zaproponowalem niestandartowa metode obliczania energii poziomow stacjonarnych wystepujacych w stanach  zwiazanych.  Na przyklad dla atomu wodoru , w ktorym przejscia elektronu ze stanow o wyzszej energii tworza znane szeregi widm dyskretnych promieniwania elektromagnetycznego i ktory to atom w stanie wzbudzonym jest czyms w rodzju naladowanego dziala fotonowego,   mamy do czynienia z obiektem, ktorego hamiltonian  (czyli calkowita energia elektronu w polu jadra)  ma postac  (w ukladzie srodka masy) 

       H = p^2/(2m) -  q^2 /(4 Pi e r

gdzie r jest odlegloscia pomiedzy elektronem a jadrem (ktorym jest proton) , m jest masa (zredukowana)  elektronu,
 Pi jest stala matematyczna  (Pi = 3.14 ….)  a p jest pedem elektronu (p= mv). W stanie zwiazanym energia elektronu jest stala i staly jest tez jego moment pedu.  Elektron moze poruszac sie po roznych trajektoriach ale stacjonarne ( o stalej predkosci obiegu) sa tylko trajektorie kolowe gdyz tylko dla nich trajektoria jest ekwipotencjalna (czyli elektron ma taka sama energie potencjalna na calej orbicie). 
Fakt, ze elektron porusza sie po zamknietej trajektorii  powoduje, ze mamy do czynienia ze zwiazkiem pomiedzy wektorem polozenia a wektorem pedu . Ma on postac 
jest 
       p = ( 1/r^2 ){ r (r.p) + M x r }

Wytluszczona czcionka oznaczam wektory , a w nawiasie klamrowym mamy do czynienia z iloczynem skalarnym r.p oraz iloczynem wektorowym M x r gdzie  M jest wektorem momentem pedu elektronu.

Podstawiamy ta zaleznosc do hamiltonianu i dostajemy zaleznosc w ktorej wystepuje tylko albo r albo p. Tak na przyklad eliminujac ped dostajemy 

       H= M ^2 / [ 2 m r^2]  - q^2 / [4 Pi e r] 

Dla trajektorii kolowej iloczyn skalarny wektorow polozenia i pedu znika gdyz ped jest prostopadly do wektora polozenia (styczny do obwodu orbity kolowej). Mozemy teraz spytac dla jakich promieni okregu o promieniu r i przy danym momencie pedu M = pr energia calkowita elektronu jest najmniejsza. W tym celu szukamy minimum powyzszego wyrazenia. Z relacji 


        dH/dr = - M^2 / [m r^3] + q^2 /[4 Pi e r^2]  = 0  (przy M= const)

otrzymujemy dla promienia r orbity stacjonarnej zaleznosc

         r = 4 Pi e M^2  /( m q^2)

oraz dla pedu po n-tym okregu , p(n), wyrazenie

        p = m q^2 / [ 4 Pi e  M]

 Tak wiec poruszajacy sie po n-tej orbicie kolowej elektron dysponuje energia kinetyczna

        E [kin.] = m q^4 /[ 32 Pi^2 e^2 M^2 ] 

oraz energia potencjalna

         E[pot.] = -2 E[kin.]

Energia calkowita elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie wynosi

         H = - E[kin.]

po dodaniu obu powyzszych wyrazen.

Jest istotne, ze wszystkie obliczenia podane wyzej zostaly wykonane stosujac zasady mechaniki klasycznej. Zjawisko "dyskretnosci" poziomow energetycznych elektronu wyniknie dopiero wtedy gdy zapostulujemy (Bohr), ze moment pedu moze przyjmowac tylko wartosci bedace calkowitym mnoznikiem podstawowej jednostki momentu pedu jaka jest stala Placka h podzielona przez 2 Pi [ h/(2Pi) = 1.054x 10^-34 Jsec]. Jesli wiec

           M = n h/(2  Pi)  gdzie n= 1, 2 , 3 …

to i energia kinetyczna, energia potencjalna oraz energia calkowita uzyskuja automatycznie  widmo dyskretne. Skad sie bierze podane wyzej "kwantowanie" momentu pedu ? Odpowiedzi na to pytanie nie mamy mimo okolo stulecia istnienia mechaniki kwantowej. Sam fakt tego, ze struktura materii jest ziarnista jest dobrze znany. Na przyklad wszystkie pierwiastki skladaja sie z atomow czyli najmniejszych jednostek materialnych, ktore w wiekszej liczbie stanowia "probke" miarodajna danego pierwiastka. Podobnie jadra atomow sa aglomeratami nukleonow. Pole elektromagnetyczne o danej czestosci drgan jest zbiorowiskiem fotonow , ktore takze sa podstawowa jednostka energii tego pola. Ale dlaczego mamy dyskretna budowe momentu pedu ? I czy ta dyskretyzacja obejmuje tylko stany zwiazane czy tez ma zastosowanie do dowolnego ruchu?  Sa to wszystko problemy nad ktorymi sie teraz zastanawiam.
Wszystkie wielkosci fizyczne jakimi sie zajmujemy sa mierzone w pewnych jednostkach. Na przyklad ilosc danego pierwiastka jest mierzona w atomach , odleglosc w metrach, czas w sekundach itp. Istnieja jednak pewne jednostki podstawowe (np atom) ponizej ktorych zejsc nie mozemy bez zmiany sposobu pomiaru. Jesli wielkosc obiektu mierzonego jest znacznie wieksza niz jednostka podstawowa to "dyskretny" charkter pomiaru nie gra wiekszej roli. Na przyklad pomiar odleglosci Ziemi od Slonca nie jest wrazliwy na dlugosc jednostki, ktora uzyjemy np metra. Ale przy pomiarach wielkosci rzedu jednostki podstawowej  jej rozmiar jest istotny. Tak zapewne jest z momentem pedu elektronu na orbicie bliskiej jadra.

Ogolnie biorac budowa ziarnista materii pozornie-ciaglej wynika z tego, ze pewne podstawowe elementy skladowe substancji tworza podsystemy, ktore sa zlozone z elementow  powiazanych wewnatrz podsystemu silniej niz moga byc zwiazane podsystemy same ze soba .

    Wracajac do naszego modelu atomu wodoru zauwazmy, ze elektron na orbicie stacjonarnej i kolowej jest calkowicie trwaly. Aby zmienic orbite potrzebne jest "popchniecie wymuszajace". Wbrew temu co twierdzi wielu autorow podrecznikow sam fakt poruszania sie po orbicie kolowej nie oznacza nietrwalosci tego stanu. Jesli jednak nastapi przeskok z jednej orbity stacjonarnej na inna nizsza (czyli o mniejszej wartosci momentu pedu)  to wyemitowany foton bedzie posiadal energie rowna roznicy  orbitalnych energii calkowitych oraz uniesie moment pedu bedacy roznica momentow pedu na kazdej z orbit. Zauwazmy, ze powyzsze sformulowanie problemu stanow stacjonarnych wyraznie stwierdza, ze dla orbit stanow zwiazanych mozna zdefiniowac precyzyjnie zarowno polozenie jak i ped elektronu Mamy bowiem dla n-tej trajektorii systemu zaleznosc

     r[n] = 4 Pi e n^2 (h /(2Pi))^2 /[m q^2] = 5.292 x 10^(-11) n^2 metrow

obowiazujaca dla promienia n-tej orbity kolowej oraz predkosc orbitalna


      v[n] = q^2 /[ 4 Pi e n h/(2 Pi)] = 2187.7 x 1/n   km/sec

Twierdzenie o niemozliwosci okreslenia jednoczesnie pedu i polozenia czastki (w tym wypadku elektronu) na jego trajektorii jakie czesto pojawia sie w podrecznikach mechaniki kwantowej (np w znanym podreczniku Landaua - Lifszyca)  jest , moim zdaniem, nieprawdziwe.

    Znajac trajektorie stacjonarna oraz predkosc orbitujacego elektronu mozemy obliczyc kilka innych interesujacych wlasnosci atomu wodoru. Tak wiec okres obiegu (czyli czas obiegu) elektronu  na n-tej orbicie jest dany wyrazeniem :

     t[n] = 2 Pi 5.2918x 10^-11 n^3 / 2187690.56 sec = 1.52 x 10^-16 n^3 sec

a czestotliwosc obiegu czyli odwrotnosc tego wyrazenia wynosi 6.6 x 10^15 (1/n^3) Hz.

   Elektron pedzacy po stacjonarnej orbicie kolowej nie jest niczym innym niz pradem elektrycznym plynacym po malym kolistym obwodzie, ktorego natezenie wynosi

     I [n]  = q v[n]/ (2 Pi r[n])

Taki prad wytworzy w osi kola pole magnetyczne bedace polem dipola

            p[mag] = q nh/[4 Pi  m]

     

  zwanego magnetonem Bohra dla orbity podstawowej (n=1).  Dodatkowy wklad do momentu magnetycznego atomu wodoru wniosa tez momenty pedu wlasne (spiny) elektronu i protonu.   Do tego problemu jeszcze wroce.

    W mechanice kwantowej pojawilo sie takze pojecie tak zwanej "fali materii" de Broglie'a. Byl to poglad, ze obiektom materialnym (jak elektron) mozna takze przypisac "fale" - czego tego dokladnie nie wiadomo- ktorej dlugosc dana jest wzorem

       L = h/ p

gdzie p jest pedem danej czastki. Taka fala de Broglie'a dla elektronu bedacego na n-tej orbicie stacjonarnej jest dana wzorem

        L[n] = 2 h^2 e n /[m q^2]

 Obwod n-tej orbity wynosi

           2 Pi r[n] = n L [n]

czyli jest calkowita wielokrotnoscia "fali" de Broglie'a. Osobiscie watpie aby oznaczalo to  jakies "rozmycie" masy elektronu wzdloz trajektorii orbity ale taka interpretacje czesto spotykam.

    Nie wszystkie stale fizyczne z jakimi sie spotykamy sa niezalezne. Istotna zaleznoscia jest tak zwana stala struktury subtelnej alfa

           alfa = q^2 /(2 h c e) = 1/137.03604

Jest to wielkosc bezwymiarowa laczaca ladunek elektronu, q, ze stala Plancka h , szybkoscia swiatla oraz stala dielektryczna prozni.  Pozwala ona wyrazic energie elektronu na n-tej orbicie w postaci

        H[n] = -2 m alfa ^2 c^2 / n^2


Energia wylotowa fotonu przy przeskoku z poziomu k na poziom n (n mniejsze od k ) wynosi

        h s = H[n] -H[k] = - 2 m alfa^2 c^2 [1/n^2 - 1/k^2]

Stad wnioskujemy, ze ped fotonu wynosi

       h s/ c = -2 m alfa^2 c [ 1/n^2 - 1/k^2]

a masa relatywistyczna fotonu wyraza sie wzorem

        m[foton] = -2 m alfa^2 [1/n^2 - 1/k^2]

laczacym je z masa elektronu m oraz z roznica energii orbitalnych bioracych udzial w przeskoku.

       Szybkosc wylotowa fotonowego pocisku wynosi wiec c. Masa elektronu  przeskakujacego z jednego stanu stacjonarnego na drugi decyduje wiec o energii elektromagnetycznego "pocisku".  Mozemy oczekiwac, ze podobna zaleznosc pojawi sie w przypadku promieniowania gamma, wytwarzanego w czasie przeskoku nukleonu z jednej warstwy energetycznej na nizsza. Wielkosc energii promieniowania gamma czy X okresli masa nukleonu.

     To jednak jaka jest szybkosc wylotowa fotonu nie decyduje o tym jaka energia fotonu zostanie zaobserwowana przez rejestrator poruszajacy sie pewna szybkoscia wzgledem "dziala fotonowego".

Moment pedu (spin) fotonu wytworzonego w czasie "przebicia" z poziomu k na n wyniesie


        M[fotonu] = [h/(2 Pi)] [k - n]

Wektor momentu pedu fotonu jest prostopadly do plaszczyzny, na ktorej leza orbity stacjonarne oraz jadro oraz do prostoliniowej trajektorii fotonu.


    Zauwazmy  takze, ze  podane wyzej wyrazenie dla hamiltonianu elektronu bedacego w stanie zwiazanym w polu protonu jest, jako funkcja odleglosci elektronu od jadra , funkcja posiadajaca jedno minimum (patrz rysunek). Temu minimum odpowiadaja kolowe orbity stacjonarne. Mozemy jednak wybrac poziom energii E lezacy powyzej minimum. W tej sytuacji, gdy mamy ustalona energie oraz moment pedu, mozemy odczytac dwie charakterystyczne odleglosci r1 oraz r2 bedace rozwiazaniem rownania

      E- M ^2 / [ 2 m r^2]  + q^2 / [4 Pi e r] = 0

Odleglosci te wyznaczaja najmniejsza i najwieksza odleglosc elektronu  od jadra czyli punkty zwrotne trajektorii eliptycznej, ktora takze jest dopuszczalna dla czastki naladowanej poruszajacej sie w polu kulombowskim. Jest to jednak trajektoria niestacjonarna. Rownanie  tej trajektorii mozemy odtworzyc w oparciu o znane rozwiazania r1 i r2 powyzszego rownania kwadratowego (wzgledem promienia r). Nie mniej idea trajektorii eliptycznych, ktora zawdzieczamy Sommerfeldowi, jest bezuzyteczna. Tylko trajektorie kolowe sa prawdziwymi stanami stacjonarnymi atomu wodoru.

Ksztalt trajektorii eliptycznej jest zdeterminowany rozwiazaniami rownania kwadratowego wzgledem r . Dluzsza os elipsy jest zdefiniowana wyrazeniem

      a= - q^2 /(8 Pi e E)

a krotsza

     b= M / [-2 m E] ^1/2

Oczywiscie krotsza os jest skwantowana jesli uwzglednimy "ziarnistosc" momentu pedu.

Zauwazmy takze, ze rozdzielenie energii fotonu na  czesc kinetyczna  oraz elektromagnetyczna wplywa takze na formule jaka otrzymujemy dla widma energetycznego ciala doskonale czarnego. Jak pokazalem wczesniej foton posiada minimalna energie wewnetrzna wynoszaca

      E(min) = 1/2 h s

- cos w rodzaju "energii zerowej" czyli energii jaka posiada foton w ukladzie odniesienia poruszajacym sie z predkoscia swiatla w kierunku jego ruchu . Jest to wlasnie wewnetrzna energia pola elektromagnetycznego poruszajacego sie fotonu. Cialo doskonale czarne stanowiace zrodlo fotonu bedacego w dynamicznej rownowadze z rezerwuarem ciepla o temperaturze T  a obliczone wedlug (niekoniecznie poprawnej) formuly Plancka daje nam nastepujace wyrazenie na srednia energie fotonu o czestosci s

     E(s, T) = h s/2 + h s /{ exp[hs/(kT)] -1}

gdzie k jest stala Boltzmanna.

Pierwszy czlon wyrazenia po prawej stronie to znana nam juz energia "zerowa" - czyli energia drgan elektromagnetycznych wewnatrz fotonu. Drugi zas czlon podaje nam zalezna od temperatury energie kinetyczna ruchu fotonu podana w ukladzie odniesienia zwiazanym z "buforem ciepla". To, ze energia srednia ruchu kinetycznego fotonu jest zmienna mowi nam (w mojej opinii), ze predkosc poruszania sie tego fotonu jest zmienna (rozna od predkosci swiatla w prozni c) i zalezna od temperatury bufora.


Standartowe wyprowadzenie wzoru Plancka, ktore to wyprowadzenie wlasciwie rozpoczelo teorie kwantow, przyjmuje blednie, ze czestotliwosc s moze przyjmowac wartosci ciagle w zakresie od zera do nieskonczonosci. Poprawne wyprowadzenie powinno brac pod uwage fakt, ze energia fotonu nie moze przekraczac znacznie wartosci przewyzszajacej wartosc progowa tworzenia par czastka- antyczastka (np elektron- pozyton czy proton- antyproton).  Powyzej tych progow foton jest niestabilny przeksztalcajac sie spontanicznie w "materie oraz antymaterie wazka". 

No comments: