Thursday, July 7, 2011

Przyczynowosc a przypadek-2


 Jak zaznaczylem w poprzednim wpisie, entropia nie jest w gruncie rzeczy wielkoscia fizyczna. Stanowi ona tylko narzedzie matematyczne pozwalajace nam okreslic pewne statystyczne cechy ukladu, ktorym sie zajmujemy. Nie jest tez prawem przyrody ogolnie przyjety poglad, ze wzrost entropii z biegiem czasu jest typowym zjawiskiem dla wszelkich ukladow, do opisu ktorych zostala ona uzyta. Przykladem przeciwnym jest chociazby przedstawiona na rysunku w odcinku poprzednim entropia procesu wyborow parlamentarnych w IIIRP. Opisuje ona wzrastajaca konsolidacje sceny politycznej w Polsce a wiec zmiane, z punktu widzenia demokracji rzadzenia, raczej negatywna. Nie mniej istnieje wiele procesow, w ktorych entropia ma istotnie tendencje wzrostowa. Przeanalizujmy jeden z nich. Zalozmy, ze mamy dwa zapchlone psy. Pchly te przemieszczaja sie od jednego psa do drugiego i z powrotem niezaleznie od siebie. Pojedyncza pchla przeskakuje w czasie dt z psa nr 1 na psa nr 2 z prawdopodobienstwem w(1) = L(1)dt a z psa 2 na psa 1 z prawdopodobienstwem w(2) =L(2)dt gdzie dt jest malym przyrostem (rozniczka) czasu. Zakladamy, ze nie ma strat insektow. Pchla przebywa przez caly czas na ktoryms z psow.Oznaczymy przez p(t) prawdopodobienstwo tego, ze w chwili t pchla znajduje sie na psie "1" a przez q(t) = 1- p(t) prawdopodobienstwo tego , ze znajduje sie ona na psie "2". Rownania stochastyczne dla tego problemu wraz z rozwiazaniami znajduja sie na planszy. Jak latwo zauwazyc istnieje rozwiazanie stacjonarne mowiace nam, ze jesli bedziemy czekac nieskonczenie dlugo to uklad osiagnie stan rownowagi. Stezenia graniczne  pchel na obu psach beda rowne tylko wtedy gdy L(1)= L(2) czyli gdy skok z psa "1" na psa "2" jest rownie prawdopodobny jak skok z psa "2" na psa "1". Jesli pchly preferuje ktoregos z zywicieli prawdopodobienstwa ich zasiedlenia beda rozne. Entropia procesu jest funkcja monotonicznie rosnaca zdazajaca do wartosci asymptotycznej. Mozna sie zastanowic co powoduje, ze entropia rosnie. Okazuje sie, ze kluczowa cecha jest to by dyspersja procesu rosla z czasem. Aby to jednak nastapilo konieczna jest losowosc procesu przeskoku. Inaczej mowiac proces, ktory tu rozwazamy, ma rosnaca entropie tylko dlatego, ze wprowadzilismy element losowosci do rownania, ktore okresla prawdopodobienstwo p(t).  Dla porownania spojrzmy na kompletnie deterministyczny model przemieszczania sie pchly, w ktorym przebywa ona okreslony czas na kazdym z zywicieli po czy przeskakuje z jednego na drugiego.  Rownania opisujace taki proces sa na rysunku. Jak latwo obliczyc entropia takiego procesu jest zawsze zero co jest typowa cecha ruchu w pelni deterministycznego. Sa to bardzo proste modele ale maja one ta cenna zalete, ze pokazuja nam na czym polega zasadnicza trudnosc uzasadnienia drugiej zasady termodynamiki. Jesli bowiem uklad jest autonomiczny i izolowany od wplywow zewnetrznych to jego dynamika jest w pelni deterministyczna. W takim ukladzie entropia jest stala i tym samym nie moze wzrastac, tak jak tego chce druga zasada termodynamiki. Zanim jednak w pelni wglebimy sie w ten majacy juz bardzo dluga historie problem musimy go jeszcze odlozyc aby zastanowic sie przed tym  jak mozna okreslic entropie rozkladu zmiennej losowej ciaglej.

5 comments:

hes said...

Drobna uwaga. Opisywane przypadki, to czyste rozważania teoretyczne (modele). W świecie realnym nie wiemy, które procesy sa stochastyczne, a które deterministyczne. Losowość pewnych zdarzeń może wynikać z naszej niewiedzy. Owszem, mechanika kwantowa mówi, że w mikroświecie wszystko jest losowe z różnymi rozkładami prawdopodobieństwa, ale kto by tam wierzył w mechanikę kwantową (oprócz kilku fizyków:).

Bobola said...

Istotnie, omawiam modele dla uwypuklenia pewnych prawidlowosci. Zreszta modele sa wlasciwie nie do unikniecia w fizyce teoretycznej gdyz zawsze musimy uproscic rzeczywistosc aby stala sie chociaz czesciowo przewidywalna. To dotyczy nawet takich obiektow, co do ktorych mamy pelna informacje. Na przyklad model gazu doskonalego czyli poruszajacych sie punktow materialnych, ktore maja reprezentowac atomy. Pomijamy tu objetosc wlasna atomow i ich rotacyjne stopnie swobody a takze obecnosc jakis sil pomiedzy nimi.

HansKlos said...

@hes
W świecie realnym nie wiemy, które procesy są stochastyczne, a które deterministyczne. Losowość pewnych zdarzeń może wynikać z naszej niewiedzy. Owszem, mechanika kwantowa mówi, że w mikroświecie wszystko jest losowe z różnymi rozkładami prawdopodobieństwa

Hugh Everett zaproponował kwantową teorię wieloświatów w której dowodził, że funkcja falowa ma realne odzwierciedlenie w otaczającej nas rzeczywistości, a jej rozwiązanie powoduje wybranie jednego z wielu światów alternatywnych. Wg niego sprawa wygląda tak, że gdy rzucamy kostką, to na jednym świecie wypada 1, na innym 2, na kolejnym 3 itd. To, że my widzimy np pięć oczek oznacza, że dokonany został wybór jednego ze światów. Trzeba przyznać, że jest kilka ciekawych elementów, która ta teoria tłumaczy, a które są niewytłumaczalne poprzez inne teorie;-)

Paweł W said...

Tak, sam również przychyliłbym się do teorii światów równoległych. Niestety, Pan Bobola raczej będzie przeciwny - model ten w pewien sposób staje się deterministyczny.

Wprawdzie mi wydaje się, że w sposób absolutnie losowy wyrzuciłem 5, lecz istnieje 5 identycznych Pawłów w światach równoległych, którzy są przekonani, że są jedynymi prawdziwymi Pawłami, i wyrzucili 1, 2, 3, 4 lub 6 (oni naprawdę, w przypadku istnienia światów równoległych, są tak samo prawdziwi). Podsumowując brak jest wolnej woli, istnieją moje "bliźniaki", które dokonały dokładnie wszystkich możliwych czynów.

Wolna wola jest jednym z podstawowych dogmatów wiary rzymsko-katolickiej, Pan Bobola, jeśli dobrze zrozumiałem, uważa się za katolika, stąd moje obawy, że nie podzieli on mojego zdania. Prawdopodobnie nie wyraziłem się dość jasno, skąd bierze się determinizm w tej teorii, dlatego zachęcam do odwiedzenia wiki: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bwiat#Wielo.C5.9Bwiaty_w_religii

Bobola said...

@Pawel W i Hans Kloss

Teorie wielu swiatow moga byc interesujace i nawet posiadac pewne matematyczne uzasadnienie ale maja ta wielka wade, ze nie sa sprawdzalne. Zyjemy w tej wersji wszechswiata w jakiej zyjemy i nie ma empirycznego sposobu aby zweryfikowac taka hipoteze. Co zas tyczy sie wolnej woli to jako dobry katolik uwazam ja za koniecznosc uswiadomiona.