Ruch w przestrzeni ograniczonej

   W kilku uprzednich notatkach poruszylem rozne aspekty kwantowego widzenia swiata i jego powiazania z klasycznym punktem widzenia. Moim celem bylo zwrocenie uwagi Szanownych i Cierpliwych Czytelnkow na to, ze obecny sposob patrzenia na dynamike swiata jest nadmiernie zmatematyzowany i skomplikowany. Konsekwencja tego podejscia jest brak intuicyjnego rozumienia podstawowych procesow fizycznych a takze liczne paradoksy wywolane, moim zdaniem tym, ze uzywany aparat matematyczny jest zbyt oderwany od fizycznej rzeczywistosci. Tymczasem, jak to staralem sie pokazac, mechanika klasyczna jest w stanie opisac takie objawy jak kwantowanie energii systemow zwiaznych jesli tylko dopuscimy dodatkowe ograniczenia dla wartosci poczatkowych problemu. Przyznaje od razu, ze nie jest dla mnie jasne dlaczego takie wlasnie a nie inne ograniczenia prowadza do kwantowania energii. Gdybym to wiedzial moglbym tez wyjasnic jaka wlasciwie role wsrod stalych fizycznych gra stala Plancka (o ile jest to istotnie stala patrz http://bobolowisko.blogspot.com/2012/02/legendy-astrofizykow.html) a byc moze moglbym tez wyznaczyc jej wielkosc z jakis innych, bardziej podstawowych danych. Uwazam tez, ze zasada nieoznaczanosci Heisenberga, majaca byc moze uzasadnienie na gruncie teorii bledu pomiarowego, jest interpretowana zbyt szeroko, jako zasada ontologiczna. Problemy z wyznaczeniem z perfekcyjna dokladnoscia warunkow poczatkowych dla rownan ewolucji ma takze mechanika klasyczna. To jednak nie upowaznia nas do rezygnacji ze stosowania jej pelnego formalizmu. Nieznane precyzyjnie warunki poczatkowe moga byc traktowane jako rozlozone losowo parametry ruchu, od ktorych zaleza finalne rozwiazania.

   Jednym z wazniejszych przykladow systemu z kwantowana energia i pedem jest problem ruchu punktu materialnego w jednowymiarowej studni potencjalu. Mamy w nim do czynienia z ruchem okresowym odbywajacym sie w ograniczonej przestrzeni. Jak dlugo czastka znajduje sie wewnatrz pewnego przedzialu tak dlugo porusza sie ruchem jednostajnym postepowym. Na granicach przedzialu nastepuje elastyczne odbicie i zmiana kierunku pedu po czym czastka zawraca i rusza dalej w kierunku drugiej granicy. Ze wzgledu na sposob jakiego uzywan dla wyznaczenia poziomow energetycznych jest dla mnie wygodniej by traktowac studnie potencjalu jako graniczny przypadek rozniczkowalnej  jamy potencjalu o hamiltonianie danym wyrazeniem

   H [p,x] = p^2/(2m) + a (x/L) ^s     s = 2, 4, 6,...

   Polozenie czastki zawarte jest w granicach -L< x < L , a  zas jest parametrem sily oddzialywania . W obliczeniach koncowych bedziemy brali granice s dazace do nieskonczonosci i w tej granicy uzyskamy typowy potencjal jamy prostokatnej (square-well) rozwazany w wiekszosci podrecznikow.Dla s=2  mamy do czynienia z nieco zmodyfikowana forma energii calkowitej dla oscylatora harmonicznego.

   Eliminujac ped badz polozenie z pomoca relacji xp = n h/(2 Pi) i szukajac minimum tak zmodyfikowanego hamiltonianu dostajemy wyrazenia  podane na planszy. Zaleza one od wykladnika potegi s. W granicy nieskonczenie duzych s dostajemy wynik dla  wartosci poczatkowych ruchu czastki w jamie prostokatnej:

  x= L
  p= nh/(2 Pi L)

oraz znany juz wynik bedacy konsekwencja rozwiazania rownania Schroedingera dla tego problemu:

  H = n^2 h^2/ (8 Pi^2 m L^2)

    Czas przelotu przez cala dlugosc jamy wynosi   4 Pi m L^2 / (nh). Wykresy pedow i polozen czastki poruszajacej sie w jamie podane sa na rysunkach. Jak latwo zauwazyc wielkosc absolutna pedu czastki jest stala. Jak z tego wynika wielkosc fali de Broglie'a czastki w jamie wyznosi zatem (2 Pi L/n). Pomijajac mnoznik 2 Pi widzimy, ze na dlugosci jamy musi sie zmiescic calkowita liczba fali de Broglie'a.

  Samo zas pojecie fali materii jest takze pojeciem rownie czesto wspominanym jak slabo rozumianym. Jak byc moze pamietamy, idea istnienia takich fal powstala we wczesnym okresie rozwoju teorii kwantow (przed sformulowaniem rownania Schroedingera) jako prowizoryczne wyjasnienie obserwowanego faktu dyfrakcji i interferencji strumienia elektronow na rozpraszanych przez krysztal. Zjawiska tego rodzaju sa typowe dla optyki fizycznej gdzie wiadomo, ze czynnikiem sprawczym sa fale elektromagnetyczne uginane przez materialne przeszkody - na przyklad w formie rys siatki dyfrakcyjnej czy tez szczelin umieszczonych w przeslonie. W tym czasie (lata 1920-1930) wiadomo juz bylo, ze fala elektromagnetyczna ma tez aspekt korpuskularny (przewidywany juz przez Newtona) i sklada sie z odrebnych elementow energetycznych w postaci kwantow promieniowania. Monochromatyczna fala elektromagnetyczna jest wiec takze strumieniem kwantow o pedzie p = h/L (L- tu dlugosc fali) i energii E=pc (c -predkosc swiatla) . Czestotliwosc fali jest zdeterminowana relacja E= hv =pc. Propozycja de Broglie'a polegala na rozszerzeniu tych relacji takze na punkty materialne o masie (spoczynkowej) m. Jesli zatem mamy punkt materialny poruszajacy sie z pedem p to jest on takze obiektem przestrzennym- "fala materii" o dlugosci L = h/p oraz czestotliwosci v= E/h gdzie E jest energia kinetyczna ruchu czastki (E = p^2/(2m ) w mechanice klasycznej) ). Niestety, taka interpretacja narzuca tez pewien problem pojeciowy. Kiedy mowimy bowiem o kwantach monochromatycznego promieniowania to wiemy ze sa one identyczne (co do energii i pedu). Natomiast ped czastki jest iloczynem masy i predkosci. Wobec tego taka sama dlugosc fali de Broglie'a ma czastka o duzej masie poruszajaca sie wolno albo czastka lekka ale poruszajaca sie szybko. Tak na przyklad proton o masie 1.6727x10^(-27) kg i predkosci 100 m/sec  ma taka sama dlugosc fali de Broglie'a rowna 39.6 A  jak elektron o masie 0.91095 x10^(-30) kg poruszajacy sie z predkoscia 1836 m/sec. Obie czastki maja wiec identyczne wlasnosci optyczne. Wiemy tez, ze kwant promieniowania elektromagnetycznego nie moze byc w spoczynku - fala elektromagnetyczna raz emitowana jest zawsze w ruchu. Foton nie posiada bowiem masy spoczynkowej. Tak jednak nie jest w przypadku czastek materialnych. Te moga byc w spoczynku wzgledem laboratoryjnego ukladu odniesienia a zatem sa tez w nim obdarzone fala materii o nieskonczenie duzej dlugosci. Interpretacja tego faktu nie jest prosta gdyz oznacza on, ze obiekt nieruchomy jest powiazany ze wszystkimi innymi obiektami w swoim dowolnym otoczeniu, ktore sa tym samym odpowiedzialne za ceche jego nieruchomosci.  Ogolnie uwazamy bowiem, ze dlugosc fali materii daje nam rzad wielkosci charakterystycznej dlugosci korelacji danej czastki z otoczeniem. Jest to korelacja odrebna od tej jaka daje nam zwykle oddzialywanie na przyklad kulombowskie czy grawitacyjne. Natura i powody owej korelacji sa dotad nieznane.

    Dlatego zreszta dla uzyskania ugiecia fali elektronu musiano stosowac krysztal zamiast zwyklej siatki dyfrakcyjnej. Potrzebna bowiem byla siec przeszkod rozmieszczonych na odleglosci rzedu dlugosci fali rozpraszanej czastki.W znanym doswiadczeniu Davisson'a i Germer'a rozpraszania elektronow na  monokrysztale niklu odleglosc pomiedzy wezlami siatki wynosi 2.15A a energia rozpraszanych elektronow wynosila 54 eV co odpowiada dlugosci fali de Broglia wynoszacej 1.67 A. Prawo ugiecia Bragg'a mowi nam wiec, ze pik odbicia powinien sie pojawic pod katem 51 stopni od kierunku wiazki elektronow. I taka zaleznosc zaobserwowano.

   Ogolnie jest bardziej racjonalne wziecie relatywistycznej formuly dla energii spoczynkowej i kinetycznej w postaci
       E= [p^2c^2 + mc^4]^(1/2)

ktora jest stosowalna zarowno dla czastek o masie spoczynkowej, m, roznej od zera jak i dla fotonow. Kazda fale charakteryzuja trzy wielkosci: amplituda drgan, czestotliwosc oraz dlugosc fali. Czestotliwosc jest zdeterminowana materialem drgajacym oraz jego szybkoscia ruchu

   v=  kc/(2 Pi) [ 1 + 4 Pi^2 m^2 c^2 /(h^2 k^2)] ^(1/2)

gdzie k jest wektorem falowym zwiazanym z pedem fali p= h/(2 Pi)k. Predkosc fazowa fali de Broglie'a wynosi  wiec
     w (faz) = L v = c [1 + 4 Pi^2 m^2 c^2/(h^2 k^2)]^(1/2)

co jest takze niepokojace gdyz oczywiscie jest ona wieksza od szybkosci swiatla dla czastek posiadajacych mase spoczynkowa. Aby wykrecic sie z tej trudnosci- bowiem teoria wzglednosci zabrania obiektom materialnym poruszac sie z predkoscia wieksza od c- fizycy stosuja typowe dla nich myslenie sofizmatyczno -zyczeniowe. Okazuje sie post factum, ze teoria wzglednosci mowi wylacznie o przesylaniu informacji a tego fala periodyczna nie czyni o ile wykluczymy takie zdarzenie jak jej wlaczanie i wylaczanie. Teraz zatem fala monochromatyczna zwiazana z czastka musi byc zamieniona na pakiet falowy (czyli grupe fal o zblizonych czestotliwosciach). Taki kolektyw falowy podrozuje z predkoscia grupowa

  w(grup)= c/[1 + 4 Pi^2 m^2 c^2/(h^2 k^2)]^(1/2)

ktora szczesliwie jest mniejsza od predkosci swiatla. Jak dotad, o ile wiem, nikt nie sprecyzowal ile jest tych fal w grupie i co determinuje ich czestotliwosci i dlugosci fal.

Jesli jednak wezmiemy to gaworzenie za dobra monete to okaze sie, ze czastka materialna ma pewna czestosc wlasna drgan nawet w stanie spoczynku . Czestosc ta wynosi:

     v= mc^2/h

Jakia jest fizyczna interpretacja tej wielkosci - o tym sie nie mowi ale w analogii do problemu fali i kwantu promieniowania elektromagnetycznego mozna zapewne uwazac ta czestosc za miare naturalnych drgan  masy czastki odbywajacych sie wewnatrz czastki. Podobnie kwantowi promieniowania elektromagnetycznego o energii E=hv mozemy takze przypisac mase relatywistyczna wynoszaca m(el-mag) = hv/c^2 = h/(Lc). Jesli wiec brac powaznie cala hipoteze de Broglie'a to wydaje sie, ze mamy do czynienia z nalozeniem sie dwoch efektow: oscylacji masy czastki (czyli bijacego serca materii) oraz drgan przestrzenno-czasowych spowodowanych jej ruchem.