Jak wyglada teoria wyczerpywania sie zasobow naturalnych- czyli Peak Oil i podobne problemy

Moi Szanowni Czytelnicy sa czesta inspiracja moich rozwazan za co jestem im niezmiernie wdzieczny. Jako oderwany od zycia staruszek emeryt mam bowiem malo bezposrednich kontaktow z rzeczywistoscia. Te zas kontakty, ktorych doswiadczam sa, na ogol, dosyc frustrujace. Tak wiec z pewnym zainteresowaniem zauwazylem powszechne wsrod Kolegow Blogerow zainteresowanie Pikiem Naftowym (Peak Oil) oraz zapewne innymi podobnymi zagadnieniami zwiazanymi z eksploatacja surowcow naturalnych. Mimo dlugiego zwiazku z Wydzialem Inzynierii Chemicznej i Materialowej termin ten nie obil mi sie o uszy i nie pojawia sie tez on w podrecznikach kursow, ktore uczylem. Zatem z prawdziwym zainteresowaniem i spoznionym glodem wiedzy zajrzalem do internetowej Wikipedii (http://en.wikipedia.org/wiki/Peak_Oil  oraz  http://en.wikipedia.org/wiki/Hubbert_peak_theory) aby dowiedziec sie wreszcie co kryje sie za tym terminem poza trywialna obserwacja, ze wszystko ma swoj kres. Jak sie okazuje jednak, specjalisci tej dziedziny wiedzy sami dokladnie nie wiedza jaki powinien byc wyglad krzywej opisujacej ilosc produktow przemyslu naftowego (czy innego przemyslu wydobywczego) dostepnych na rynku w zaleznosci od czasu. Inz. King Hubbert  proponowal krzywa zblizona do krzywej dzwonowej, symetryczna wzgledem osi przechodzacej przez punkt maksimum. Pozniejsi kontrybutorzy probowali zas powiazac ta krzywa z tak zwana krzywa logistyczna  czyli z rozwiazaniem nieliniowego rownania rozniczkowego wyprowadzonego dla procesu wzrostu i smierci populacji zywych. Brak jasnego zdefiniowania kinetyki procesu wydawal mi sie dobrym powodem dla zaproponowania wlasnego rozwiazania tego zagadnienia co niniejszym czynie. Oznaczmy przez z[t; z0] istniejace w ziemi zapasy pewnego surowca w chwili t >0 jesli wiemy, ze w chwili poczatkowej zapasy te wynosily z0. Jak latwo zauwazyc ilosc zapasow spelnia rownanie funkcyjne:
z[t; z0]= z[t-t';z[t';z0]]
gdzie t' jest czasem posrednim pomiedzy zerem i t. Jest to po prostu obserwacja, ze ilosc zasobow w czasie koncowym, t, nie zalezy od tego czy rozpoczniemy liczenie od chwili poczatkowej t=0 czy tez od dowolnej innej chwili t' pod warunkiem, ze stosownie zmodyfikujemy zasob poczatkowy. Inaczej mowiac ilosc zasobow kopaliny tworzy matematyczna polgrupe.  Stosowne kinetyczne  rownanie rozniczkowe opisujace ubytek zasobow kopalin ma postac :
dz[t]/dt = -k z[t]
z warunkiem poczatkowym: z[0]= z0. Wspolczynnik k ma wymiar odwrotnosci czasu i opisuje szybkosc wydobycia surowca. Zakladamy, ze szybkosc wydobycia jest proporcjonalna do ilosci zasobow te zas sa wydobywane w sposob nieodwracalny. Identyczne rownanie opisuje, na przyklad, rozpad pierwiastka radioaktywnego. Wydobyty surowiec (na przyklad ropa naftowa) jest nastepnie przetwarzana w produkt komercyjny ktory oznaczymy przez p[t; p0] albo krocej przez p[t].  Rownanie kinetyki produktu wyglada nastepujaco:
 dp[t]/dt = - s p[t] + k z[t]
gdzie  s jest kinetycznym wspolczynnikiem ubywalnosci (sprzedazy badz zuzycia) produktu. Jest to w zasadzie rownanie bilansu produktu handlowego, w ktorym pierwszy czlon po prawej stronie opisuje szybkosc ubywania produktu a drugi szybkosc jego generacji  z wydobytego surowca. Jest to zestaw dwu rownan liniowych, ktore moga byc rozwiazane scisle dla dowolnych wspolczynnikow kinetycznych k i s. W ogolnym przypadku dostajemy trzy rozwiazania w zaleznosci od tego czy mamy do czynienia z procesem sterowanym szybkoscia wydobycia,   s mniejsze od k , czy tez procesem kontrolowanym przez chlonnosc rynku, s wieksze od k, czy tez wreszcie plynnym przetwarzaniem surowca w produkt komercyjny, s=k. My bedziemy zainteresowani tylko ta ostatnia ewentualnoscia chociaz niekiedy zdarzalo sie, na przyklad, produkowanie wegla na halde ze wzgledu na brak odbiorcow. Na ogol jednak wydobywa sie surowca tyle ile mozna przerobic na biezaco czyli tyle na ile jest zapotrzebowanie rynkowe. W wypadku nadprodukcji producent redukuje nieco ceny co przywraca plynnosc procesu. Rozwiazanie rownan kinetyki procesu wyglada w tym wypadku nastepujaco:

p[t] = p0 Exp[-k t] [ 1 + p0/z0 t]

Na rysunku u gory mamy podany przebieg tej funkcji z parametrem  k= 1/11 oraz zespol punktow odczytanych z wykresu produkcji ropy na Alasce przez ostatnie 35 lat. Jak widac zgodnosc jest bardzo dobra.