Tuesday, June 22, 2010

Ile czasu do katastrofy czyli problem Hansa Klosa

Pare dni temu Szanowny Kolega Bloger Hans Klos napisal maly essej, w ktorym postawil hipoteze mowiaca, ze im dluzej czekamy na pewne zdarzenie (np katastrofe) tym bardziej jest prawdopodobne, ze ona sie wydarzy (patrz http://hansklos.blogspot.com/2010/06/ekonomia-katastrof-czyli-generowanie.html). Podany byl przyklad z rzutem kostka do gry, w ktorym role katastrofy pelnilo wyrzucenie szesciu oczek. Wedlug Szanownego Oberlejtnanta im dluzszy jest ciag wyrzucen innej liczby oczek( niz 6) w kazdym z kolejnych niezaleznych prob tym bardziej staje sie prawdopodobne, ze w koncu wyrzucimy 6 czyli, ze nastapi wygaszenie ciagu "spokoju" katastrofa. Problem polegal na tym czy jest tak istotnie to zas znaczylo, ze chcemy poznac prawdopodobienstwo rozkladu czasu, po ktorym nastapi zdarzenie katastrofalne. Oznaczmy przez P[t] prawdopodobienstwo, ze do chwili  t  katastrofa nie nastapila. Przyjmijmy tez, ze prawdopodobienstwo elementarne wydarzenie sie katastrofy w czasie dt jest propocjonalne do dlugosci tego czasu czyli w[dt]= kdt.  Prawdopodobienstwo, ze katastrofy nie bedzie w okresie czasu t+dt oznaczymy przez P[t+dt]. Prawdopodobienstwo to jest iloczynem nie-wydarzenia sie katastrofy w okresie czasu t przez prawdopodobienstwo elementarne nie-wydarzenia sie katastrofy w czasie dt. To ostatnie wynosi 1-kdt bo w czasie dt katastrofa albo wystapi z prawdopodobienstwem elementarnym kdt albo nie wystapi z prawdopodobienstwem 1-kdt. Mamy wiec rownanie stochastyczne o postaci
P[t+dt]= P[t]{1-kdt}
ktore dla dt->0 zamienia sie w rownanie rozniczkowe

dlnP[t]/dt = -k

Rozwiazaniem tego rownania jest funkcja  P[t]= k exp[-kt] unormowana do jednosci przy calkowaniu po czasie t w granicach od zera do nieskonczonosci . Stala k jest odwrotnoscia sredniego czasu do katastrofy.
Jak widzimy HK ma racje. Im dluzej jest spokojnie  tym mniejsze jest prawdopodobienstwo, ze ten spokoj jeszcze potrwa.  Pamietajmy, ze w tym sformulowaniu czas t  (czas spokoju albo wyrzucania jakichkolwiek oczek z wyjatkiem 6) jest wielkoscia losowa.


UZUPELNIENIE                                                                                                                    

W wyniku dyskusji wydaje mi sie rozsadnym aby powtorzyc argumentacje dla procesu dyskretnego. Zakladamy wiec ze mamy do czynienia z procesem binarnym, dla ktorego w kazdym losowaniu moze wystapic zdarzenie katastrofalne z prawdopodobienstwem elementarnym w oraz zdarzenie dopelniajace z prawdopodobienstwem 1-w. W przykladzie HK  katastrofa jest wyrzucenie szostki czyli w=1/6 a zdarzeniem dopelniajacym jest wyrzucenie jakiegokolwiek innego wyniku (czyli 1, 2, 3, 4, lub 5) z prawdopodobienstwem elementarnym 5/6.  Pytamy o prawdopodobienstwo p[n] wyrzucenia w n losowaniach wylacznie zdarzen nie-katastrofalnych. Mozemy napisac dyskretna wersje rownania stochastycznego w postaci :
p[n+1] = p[n]{1-w}.
Jest to stwierdzenie mowiace, ze prawdopodobienstwo wystapienia ciagu n+1 rzutow nie-katastrofalnych jest iloczynem prawdopodobienstwa nie-wyrzucenia zdarzenia katastrofalnego w ciagu n losowan oraz nie wystapienia takiego zdarzenia rowniez i w ostatnim rzucie.
Rozwiazaniem rownania jest ciag
p[n] =w [1-w]^n
Latwo sprawdzic, ze rozklad jest unormowany dla dyskretnej zmiennej losowej n  zawartej pomiedzy zerem i nieskonczonoscia. Srednia dlugosc lancucha wynosi
= (1-w)/w
czyli dla problemu rzutu koscia  =5.
 Obliczenie dyspersji pozostawiam jako cwiczenie.






16 comments:

MAGA said...

Katastrofom lepiej zapobiegac,jesli to tylko mozliwe.
Troche wiecej optymizmu,lepiej stworzyc wzor na szczescie.

Bobola said...

@Maga
Katastrofom lososwym zapobiec nie mozna. Mozna co najwyzej zmniejszyc ich prawdopodobienstwo elementarne czyli wspolczynnik k. Mowimy o wypadkach takich jak ostatni potop w poludniowej Polsce, wpadniecie pod pojazd podczas przejscia przez ulice, rozwod czy powtarzajace sie kryzysy polityczne ( w Polsce co okolo 5 lat). Na tym wlasnie opiera sie teoria "karmy" w hinduizmie.

ShooleR said...

Warto zauważyć, że np w zarządzaniu kryzysowym (no może nie w PL, ale ogólnie) - nie ma jako takiego pojęcia "prawdopodobnego czasu" wystąpienia katastrofy. Zakłada się, że każda katastrofa nastąpi - nie wiadomo tylko kiedy więc traktuje się każdą datę jako "deadline".

Takie Jeden Łoś said...

@Bobola

> Przyjmijmy tez, ze
> prawdopodobienstwo elementarne
> wydarzenie sie katastrofy w
> czasie dt jest propocjonalne do
> dlugosci tego czasu czyli
> w[dt]= kdt.

A to dosyc ciekawe "przyjecie". Moze Pan Profesor podac konkretna wartosc parametru k dla symetrycznej szesciennej kostki? Jesli k jest stala (co sugeruje Panski zapis i pozniejszy sposob rozwiazywania rownania rozniczkowego) to moze sie okazac, ze istnieje taka ilosc rzutow kostka, ze wyrzucenie szostki bedzie zdarzeniem nie tylko pewnym, ale nawet wiecej niz pewnym ;-) Moja losiowa intuicja podpowiada mi, ze rzucanie kostka jest procesem nie tylko stochastycznym, ale dodatkowo markovskim. Cecha charakterystyczna tych ostatnich jest brak "pamieci", czyli prawdopodobienstwo wyrzucenia szostki nie jest zalezne od tego, co wyrzucono przed chwila. Niech wiec Pan Profesor lepiej zostawi procesy markovskie w spokoju i nie dorabia im na sile "pamieci" do spolki z Herr Klossem. Tak bedzie lepiej dla wszystkich, a w szczegolnosci dla procesow markovskich

Bobola said...

@TJL
Uciaglilem tutaj dyskretny model rozwazany przez HK. ale w[dt] to w dalszym ciagu prawdopodobienstwo elementarne (odpowiadajace 1/6 przy wyrzucie dowolnej ale zadanej liczby oczek) jest to prawdopodobienstwo stale przez caly czas procesu zalezy bowiem tylko od roznicy (infinitezymalnej w granicy) czasu poczatkowego i koncowego. Dla osob nieslychanie bieglych w matematyce , tak jak Szanowny Komentator, zapewne byloby lepiej aby najpierw rozwazyc model dyskretny (prowadzacy do rownan roznicowych) a potem go uciaglic ale ja mam zawsze watpliwosci czy Moi Szanowni Czytelnicy beda mieli dosyc cierpliwosci aby przez ten ciag wzorow przebrnac.

Takie Jeden Łoś said...

@Bobola

Tutaj nie ma co uciaglac, bo liczba rzutow kostka jest zawsze dyskretna. Nie w tym jest jednak problem. Otoz problem jest w tym, ze jesli zalozymy, ze liczbe planowanych rzutow kostka bedziemy zwiekszac, to bedziemy dostawac coraz to wieksze prawdopodobienstwa, ze dostaniemy w wyniku tej serii rzutow szostke - w tym zgoda. Jesli jednak juz dokonalismy 65 rzutow kostka (czyli dlugo czekalismy na hansowa katastrofe) i do tej pory katastrofa (szostka) sie nie wydarzyla, to cecha procesow markovskich (takich jak rzut kostka) jest to, ze wcale nam sie nie zmienia prawdopodobienstwo osiagniecia katastrofy w nastepnym rzucie. Ono wciaz jest 1/6.

Bobola said...

@TJL
Przechodzenie od procesoe dyskretnych do ciaglych jest bezproblemowe bez wzgledu na to ile wynosi prawdopodobienstwo elementarne (ktore jest stalym ulamkiem). W przypadku procesu dyskretnego pytalibysmy o prawdopodobienstwo pojawienia sie ciagu n- rzutow zakonczonych katastrofa w n+1 rzucie. Oczywisci prawdopodobienstwo elementarne zdarzenia jest stale ale nie o to chodzi HK i mnie tutaj. Zmienna losowa (w tym wypadku dyskretna) jest n.

Takie Jeden Łoś said...

@Bobola

Zobaczmy co oryginalnie napisal HK:

> A jeśli rzucaliśmy już pięć
> razy i szóstka nie padła, to
> jak jest szansa, że stanie się
> to właśnie teraz? Jeśli myślisz,
> że nadal prawdopodobieństwo
> wylosowania szóstki wynosi
> 1/6, to się mylisz, czy nie?
> Pomimo iż zdarzenia nadal są
> niezależne, gęstość
> prawdopodobieństwa wzrosła;-)

To jest ewidentna nieprawda. Jesli 5 rzutow bylo bez katastrofy, to zadna gestosc prawdopodobienstwa nie wzrosla. Dalej wprawdzie prawdopodobienstwo katastrofy w 6 rzutach jest wieksze niz w 5, ale poprzednie nieudane rzuty nie spowodowaly zadnego wzrostu gestosci prawdopodobienstwa. HK w swoim oryginalnym twierdzeniu sie po prostu myli.

HansKlos said...

@Takie Jeden Łoś
"gestosc prawdopodobienstwa nie wzrosla", prawdopodobienstwo katastrofy w 6 rzutach jest wieksze niz w 5

Sam sobie zaprzeczasz;-) Gęstości prawdopodobieństwa to funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przy pomocy całki.

Takie Jeden Łoś said...

@Hans Klos

Wlasnie skomentowalem na Twoim blogu gre w sprajta. Opisana procedura gry w ogole nie generuje krzywej Gaussa.

Bobola said...

@TJL
HK moze istotnie wyslowil sie nieprecyzyjnie ale mam nadzieje, ze zgodzi sie on z tym, ze w istocie chodzilo mu o prawdopodobienstwo rozkladu dlugosci lancucha zdarzen a nie o to, ze zmienia sie prawdopodobienstwo elementarne pojedybczego zdarzenia. Jesli zgaduje dobrze jego intencje to TJL atakuje niewlasciwy punkt rozumowania.
Dolacze za chwile do glownego tekstu uzupelnienie dotyczace scisle procesu dyskretnego. Moze to wyjasni sprawe.

HansKlos said...

@Bobola
w istocie chodzilo mu o prawdopodobienstwo rozkladu dlugosci lancucha zdarzen

Dokładnie o to chodziło. Przy okazji z przyjemnością przeglądam Pański sposób rozumowania.

Benjamin said...

Z matematyką nie miałem do czynienia b. dawno.
Wkrótce jednak będę chyba musiał udowodnić szefowi że prawdopodobieństwo że mnie zwolni maleje wprost proporcjonalnie do czasu spędzonego na czytaniu blogów w pracy.

A co z rozkładem Bernoulliego zwanym też dwumianowym?
Klasycznym przykładem jest właśnie rzut kostką?

Bobola said...

@benjamin
To podobny problem ale tam chodzi o znalezienie prawdopodobienstwa tego, ze okreslone zdarzenie zajdzie k razy jesli ogolna liczba prob wynosila n (n>k). Tutaj zas pytamy o prawdopodobienstwo tego, ze okreslone zdarzenie (katastrofa) nastapi po wykonaniu n prob.

HansKlos said...

@Benjamin
"Wkrótce jednak będę chyba musiał udowodnić szefowi że prawdopodobieństwo że mnie zwolni maleje ..."

Zwolnienie z pracy nie jest ostatecznie katastrofą, a przynajmniej tak mówią liberałowie;-) Katastrofą z pewnością jest śmierć i jej prawdopodobieństwo rośnie wraz z przeżytym wiekiem;-)

Benjamin said...

@HansKlos
"Zwolnienie z pracy nie jest ostatecznie katastrofą"

Wszystko jest względne. Dla mnie byłoby bo żyje z miesiąca na miesiąc. Natomiast mój syn by się ucieszył:)
Na całe szczęście pracuje na zasadach francuskiego socjału więc czuję się bezpiecznie, póki co:)