Entropia stanow okresowo powracajacych

 Wiekszosc fizykow sklonna jest przypuscic, ze prawo wzrostu entropii jest prawem rownie podstawowym jak roznego rodzaju zasady zachowania. (np zachowanie energii). Inaczej mowiac uwaza sie, ze w ukladzie izolowanym wszelkie procesy biegna w taki sposob, ze stosownie zdefiniowana entropia takiego ukladu wzrasta. Czesto wiazemy to z istnieniem tak zwanej "strzalki czasu" czyli mozliwosci okreslenia kierunku zdarzen powiazanych zaleznoscia przyczynowa. Czas pozniejszy to ten ktory jest obdarzony wieksza entropia. Podreczniki pelne sa przykladow wiazacych losy niefortunnie upuszczonego jajka ze wzrostem entropii. Jajko rozbite jest oczywiscie zjawiskiem pozniejszym od tego samego jaja w stanie nieuszkodzonym a widzac, na przyklad dwa zdjecia: jedno przedstawiajace cale jajo lezace na stole i drugie pokazujace rozbite skorupy i rozlana zawartosc na podlodze nie wahamy sie w okresleniu kolejnosci zdarzen. I to wszystko mimo, ze doskonale wiemy, ze prawa mechaniki sa odwracalne i w zasadzie nic nie stoi na przeszkodzie wystapienia operacji odwrotnej czyli "zmartwychstania" jaja i jego ulokowania sie z powrotem na stole. Tymczasem takie zdarzenie kazdy bez wahania uznalby za zjawisko nadprzyrodzone a nawet za bezposrednia interwencje istot wyzszych. Podobnie kazdy z bibliotekarzy nadzorujacych ksiegozbior z wolnym dostepem do polek bibliotecznych jest calkiem przygotowany na to, ze z biegiem czasu uporzadkowany pod wzgledem numerow jakiegos systemu katalogowego zbior ksiazek stanie sie, dzieki dzialalnosci czytelnikow, coraz mniej uporzadkowany. Spontaniczny powrot do doskonalego uporzadkowania raczej sie sam z siebie nie pojawi. Trzeba wykonac prace, ktora uzasadnia potrzebe istnienia bibliotekarza. A przeciez losowo wkladajac ksiazki w szeregi dziel juz stojacych na polkach moglibysmy calkiem przypadkowo wsunac ta ksiazke we wlasciwe miejsce! Te wszystkie przyklady oczywiscie maja swoje ograniczenia gdyz uklad jest w zasadzie bardziej zlozony. Jest kwestia tego czy kucharze i czytelnicy powinni byc wlaczeni do calego systemu jako jego czesci i czy przy takim wlaczeniu entropia calego ukladu bylaby , byc moze, stala. Innym, bardziej zlozonym przykladem, ktory absorbuje bezwzglednie "wyzsze umysly" ( patrz R.Penrose "Cycles of time", 2011) jest kwestia tego jak zmienia sie entropia wszechswiata w czasie Wielkiego Wybuchu i czy stan koncowy w postaci czarnej dziury ma wieksza czy mniejsza entropie od tej jaka Wszechswiat ma w chwili obecnej. Wszystkie te problemy obdarzone sa duza liczba trudnosci matematycznych i pojeciowych. Dlatego tez jest uzyteczne aby przed zajeciem sie Kosmosem rozwiazac kilka prostych przykladow, ktorych matematyka jest dostatecznie latwa by byly rozwiazalne a jednoczesnie takich, ktore zawieraja istotne elementy problemow zlozonych. W tym celu spojrzmy na zachowanie sie entropii systemu, ktorego mechanika jest periodyczna. Jak juz niegdys wspomnialem, entropia calkowicie deterministycznych systemow dynamicznych o odwracalnej dynamice jest stala i rowna zeru. Pod tym wzgledem drugie prawo termodynamiki czyli zasada wzrostu entropii w ukladzie izolowanym podawana w podrecznikach termodynamiki, jest sformulowana niepoprawnie. Na to aby entropia ukladu byla rozna od zera potrzebny jest losowy wklad do dynamiki ukladu. Skad ten wklad pochodzi- to kwestia dotad niejasna. W kazdym razie taki element nie wystepuje w ukladach bezwzglednie izolowanych a tylko takie maja autonomiczna dynamike. Spojrzmy jednak na prosty przyklad, ktory zreszta juz poruszylem uprzednio omawiajac rozszerzenie definicji entropii do ukladu zmiennych losowych ciaglych (http://bobolowisko.blogspot.com/2011/07/przyczynowosc-przypadek-3.html).Jak wskazalem wtedy entropia rozkladu zmiennej losowej ciaglej powinna byc wyrazona wzorem (1) na planszy. Jest to wzor nieco bardziej skomplikowany niz znany wiekszosci moich czytelnikow wzor Boltzmanna czy Gibbsa ale za to posiadajacy szereg pozytecznych cech, ktorych nie maja propozycje moich wielkich poprzednikow. Moj wzor ma tez jedna niedogodnosc polegajaca na tym, ze pojawia sie w nim "szerokosc pasma" oznaczona litera grecka gamma. W przypadku zwyczajnej przestrzeni fazowej ta szerokosc pasma moze byc zidentyfikowana ze stala Plancka. W tym bowiem wypadku mozemy domagac sie zgodnosci pomiedzy statystykami kwantowymi i klasycznymi i stad wnioskowac o wielkosci szerokosci pasma. W ogolnym przypadku takiej mozliwosci nie mamy i mozemy jedynie interpretowac ta wielkosc gamma jako dokladnosc z jaka mozemy okreslic wielkosc losowa opisywana w rozwazanym problemie. Jest bowiem calkiem normalne, ze wielkosci fizyczne nigdy nie sa okreslone z nieskonczona precyzja i ze w zwiazku z tym wynik pomiaru zawsze jest podany z pewnym bledem. Jesli, na przyklad, mierzymy dlugosc stolu uzywajac tasmy mierniczej i otrzymamy wynik wynoszacy, powiedzmy, L= 120.5 cm to jest oczywiste, ze faktyczna dlugosc stolu wynosi gdzies pomiedzy 120.45 cm a 120.55 cm. Mamy wiec scisle biorac pomiar L= 120.5 +/- 0.05 cm i szerokosc pasma bledu wynoszaca 0.1 cm.  W przypadku bardzo popularnego rozkladu gaussowskiego (wzor 2) wyrazenie na entropie rozkladu jest podane na planszy (wzor 3) . Formula rozkladu wnosi swoj wlasny miernik rozrzutu wartosci losowych w postaci dyspersji oznaczonej grecka litera sigma. Jesli stosunek dyspersji do szerokosci pasma jest maly to dla entropii uzyskujemy wzor przyblizony (4). Wydawaloby sie, ze najprostszym wyjsciem jest przyjecie stosunku obu tych wielkosci jako rownego jednosci. To jednak nie jest mozliwe wtedy gdy, jak to ma miejsce w wiekszosci problemow dynamicznych, dyspersja jest funkcja czasu. Zawsze bowiem moze nas interesowac czas tak krotki, ze stosunek szerokosci pasma do dyspersji nie bedzie maly.Poswiecmy teraz troche uwagi problemowi entropii rozkladu gaussowskiego. Przyjmijmy tez dla uproszczenia, ze entropia ta wyraza sie wzorem uproszczonym (4). Jesli rozwazamy zjawisko dyfuzji  albo tez problem ruchu brownowskiego opisane rozkladem (5) to dyspersja rozkladu wyniesie, w jednym wymiarze o^2= 2Dt a w trzech wymiarach o^2= 6Dt. Dla t=0 dyspersja znika a rozklad gaussowski przechodzi w dystrybucje delta Diraca. W takim przypadku musimy stosowac pelny calkowy wzor na entropie, ktory mowi nam, ze w chwili t=0 entropia znika gdyz zniknal element losowosci rozkladu charakteryzowany skonczona wartoscia dyspersji. Dla czasow roznych od zera i dostatecznie dlugich widzimy, ze entropia procesu dyfuzji rosnie jak logarytm z czasu (zredukowanego z uzyciem szerokosci pasma - jednostka czasu jest kwadrat szerokosci pasm dzielony przez wspolczynnik dyfuzji D  ). Podobna sytuacje mamy takze w wypadku ruchu swobodnego w 3-wymiarach z makswellowskim rozkladem predkosci. Jest to przypadek o tyle interesujacy, ze imituje on miedzy innymi problem kosmologicznego wielkiego wybuchu. Funkcja rozkladu polozenia czastki jest opisana znana fizykom funkcja rozpraszania van Hove'a (od nazwiska wynalazcy). Jej postac jest dana wzorem (5) , ktory jest takze rozkladem gaussowskim ale z dyspersja o^2 proporcjonalna do kwadratu czasu. Biorac pod uwage, ze sredni kwadrat odleglosci czastki od jej polozenia startowego jest proporcjonalny do tej wielkosci widzimy, ze przy ruchu swobodnym odleglosc przebyta w czasie t jest wieksza niz wtedy gdy czastka dyfuduje. Dla czasow dostatecznie dlugich entropia ruchu swobodnego opisanego funkcja (self) van Hove' a rowniez rosnie jak logarytm z czasu. Caly problem ma symetrie sferyczna wzgledem polozenia poczatkowego i wobec tego warto przeanalizowac zachowanie sie funkcji rozkladu odleglosci bezwzglednej (czyli dlugosci wektora wiodacego) od centrum. Jest ona podana na wykresie dla kilku, coraz dluzszych, czasow. Jak widzimy wykresy przedstawiaja stopniowo coraz bardziej rozmyta warstwe sferyczna oddalajaca sie od centrum. W miare oddalania sie gestosc tej warstwy stopniowo maleje. Jesli spojrzymy na ten problem z punktu widzenia wybuchu, ktory nastapil w centrum w chwili poczatkowej, a malejaca gestosc warstwy sferycznej zainterpretujemy jako rozrzedzenie odlamkow pierwotnego pocisku po wybuchu w miare powiekszanie sie tej warstwy w wyniku wzrastania odleglosci od centrum (jak np przy nadmuchiwaniu balonika) to obserwator znajdujacy sie na jednym z odlamkow bedzie widzial, ze sasiadujace obiekty oddalaja sie od niego (ucieczka galaktyk) z rozna predkoscia. Te , ktore sa od niego najdalej oddalaja sie najszybciej co jest zrozumiale. Mialy bowiem one najwieksza predkosc poczatkowa. Patrzac w kierunku ruchu obserwator bedzie widzial swietlne punkty czyli inne odlamki wybuchu na tle ciemnego nieba (paradoks Olbersa rozwiazany) gdyz poza najszybszymi odlamkami w "wolnej" przestrzeni nie ma nic. Podobnie patrzac w kierunku poczatkowej lokacji zobaczy on tylko zubozone w odlamki (frakcje wolniejsza) przestrzen juz przebyta. W kierunku prostopadlym do ruchu wlasnego swiat bedzie mu sie wydawal homogeniczny gdyz stezenie odlamkow w warstwie sferycznje bedzie sie zmieniac stosunkowo niezauwazalnie. Zakrzywienie zas strefy wywola wrazenie tego, ze obserwowany wszechswiat jest zubozony w odlamki na horyzoncie obserwacji co widzimy zreszta na mapach rozmieszczenia galaktyk. W opisanym wyzej przypadku entropia rozkladu rosnie a maksimum gestosci obiektow zwolna rozplywa sie tworzac quasi-jednorodna zawiesine. W przypadku kosmologicznym oznacza to, ze gestosc galaktyk w przestrzeni bedzie stopniowo malala co obserwator siedzacy na jednym z obiektow bedzie interpretowal jako ucieczke sasiadow z coraz to wzrastajaca szybkoscia (prawo Hubbla) .  Jest to typowe zachowanie dla ukladu mechanicznie wolnego, w ktorym nic nie hamuje ruchu obiektu (czastki czy galaktyki). Spojrzmy teraz na podobny uklad zwiazany jakim jest oscylator harmoniczny w przestrzeni 3-wymiarowej. Funkcja rozpraszania van Hove'a ma identyczna postac do podanej uprzednio ale odmienna jest dyspersja i jej zaleznosc od czasu. Mamy bowiem do czynienia z ruchem periodycznym , typowym dla stanow zwiazanych. Jesli spojrzymy na wykres rozkladu prawdopodobienstwa znalezienia czastki w odleglosci r od poczatku ukladu (system ma symetrie sferyczna) to w poczatkowym okresie bedzie on identyczny jak w przypadku poprzednim. Zobaczymy sekwencje stopniowo malejacych z czasem gestosci. W pewnym jednak momencie ten ruch w kierunku uniformizmu ulega zatrzymaniu i odwroceniu. Zaczynamu obserwowac "anty-termodynamiczne" zachowanie polegajace na wzroscie z czasem fluktuacji gestosci obiektow. Po powrocie do stanu poczatkowego czyli do rozkladu tuz po wybuchu cykl znowu ulegnie odwroceniu i fluktuacja gestosci zacznie sie rozplywac. Podobnie oscyluje entropia rozkladu. Poczatkowo mamy wzrost entropii odpowiadajacy rozplywaniu sie fluktuacji gestosci (czyli wybuchowi) po czym nastepuje odwrocenie przebiegu i malenie entropii. Sytuacja taka pojawia sie periodycznie i mozemy sie tylko zastanawiac czy podobna sytuacja istnieje rowniez w naszym wszechswiecie. W rozwazanym wyzej modelu czynnikiem sprawczym byla oczywiscie sila harmoniczna, ktora wymuszala periodyczny ruch czastki. Taka sila zapewne nie wystepuje w naszym realnym kosmosie albo przynajmniej nie jestesmy jej istnienia dotad swiadomi. To zas stawia przed nami pytanie w jaki sposob pojawilo sie to wielkie zageszczenie energii , ktore stanowilo zrodlo pierwotne wielkiego wybuchu. Praktyka mowi nam, ze dla powstania tego typu energetycznego zrodla konieczna jest olbrzymia praca wykonana zapewne przez jakas inteligencje wyzsza. Jedyna inna mozliwoscia jest wlasnie periodycznyn lub kwaziperiodyczny przebieg, ktory automatycznie zapewnia reinkarnacje stanu wyjsciowego po uplywie tak zwanego okresu Poincare'go .
Objasnienie ilustracji:
W lewej gornej czesci wpisu znajduje sie kopia rysunku zamieszczonego w ksiazce R.Penrose "Cycles of time" wyjasniajaca w jaki sposob autor przewiduje zachowanie sie entropii w roznych sytuacjach. Mamy wiec na gorze oczekiwany wzrost entropii z uplywem czasu w przypadku rozprezajacego sie gazu w pojemniku oraz podobny wzrost entropii podczas tworzenia sie czarnej dziury z "gazu galaktycznego". Moim zdaniem ta ostatnia interpretacja jest mylna gdyz na podstawie rozwazanego przykladu oczekiwalbym raczej zmniejszenia sie entropii w przypadku "kondensacji galaktyk".  Nie mniej wroce do tego problemu z punktu widzenia przejscia pierwszego rodzaju gaz-ciecz.

W prawej gornej czesci wpisu znajduje sie mapa galaktyk widoczna z polnocnej polkuli. Mapa pochodzi z ksiazki Davies's "The new physics".