Kwantowe niespodzianki

     Kiedy rozmawiam ze znajomymi, zwlaszcza zas z tymi, ktorzy nie maja zawodowego kontaktu z naukami scislymi, zadziwia mnie wielokrotnie ich gleboka wiara w racjonalnosc, spojnosc i poprawnosc swiatopogladu naukowego. Ja natomiast, jako osoba zajmujaca sie naukami scislymi przez wiekszosc mojego zawodowego zycia, mam zupelnie inny poglad na obiektywnosc i logiczna poprawnosc tej struktury umyslowej. Nie dotyczy to wylacznie nauk humanistycznych czy ekonomii, ktore sa w dominujacym stopniu uformowane zgodnie z zamowieniem politykow i  dostosowuja sie  do aktualnej mody intelektualnej panujacej na swiecie. Rowniez nauki scisle, wydawaloby sie ze bedace ostoja logiki i kontrolowane przewidywaniami eksperymentow, ulegaja latwo instynktowi stadnemu i kultowi naukowych "swietych". Kazdy, kto kiedykolwiek probowal podwazyc powszechnie przyjete, czesto "na wiare" tezy wie doskonale, ze trudno jest na swiecie o bardziej konserwatywne srodowisko niz srodowisko zawodowych naukowcow. W porownaniu z nim postepowym i otwartym (czasem zbytnio) na nowinki jest nawet duchowienstwo. Tymczasem liczba wewnetrzych sprzecznosci, niedopowiedzen czy "prawd empirycznych" jest w naukach scislych powazna. Czesto dotyczy to problemow ezoterycznych i wymagajacych znajomosci roznych galezi matematyki, ktore nie zawsze sa we wladaniu naukowcow nie zajmujacych sie nimi bezposrednio. Tu ignorancja jest w pewnym stopniu wytlumaczona tym, ze nikt nie jest obecnie w stanie byc ekspertem od wszystkiego. Ale bardzo czesto problematyczne rozwiazania sa przyjete za dobra monete tylko dlatego, ze uslyszelismy je w trakcie studiow od osob w pozycji autorytetu. Wtedy przyrodzona niesmialosc polaczona z niechecia do zwracania na siebie uwagi wykladowcy mogla nas sklonic do zaniechania stawiania pytan, ktore moglby byc klopotliwe dla obu stron. Z biegiem czasu i postepem kariery naukowej pewne tezy, poczatkowo kwestionowalne, zostaly przez nas przyjete jako pewniki "przez zasiedzenie".

   Od czasu do czasu podnosze tutaj rozne tematy, ktore obecnie weszly do powszechnej swiadomosci jako prawdy oczywiste i niezbite mimo, ze przy blizszej analizie ich uzasadnienie wcale nie jest takie mocne. Ostatnio zajmowalem sie racjonalnoscia modelu Wielkiego Wybuchu jako podstawy wspolczesnej kosmologii ( http://bobolowisko.blogspot.com/2012/02/legendy-astrofizykow.html ). Moim zdaniem model ten nie jest konieczny gdyz ten sam efekt (i kilka innych) mozna uzyskac przyjmujac wolna ale nieliniowa zmiennosc w czasie stalej Plancka. Dopuszczenie tego, ze stala Plancka nie jest w istocie stala zwalnia nas od obowiazku (niespelninego dotad) wyjasnienia w jaki sposob wielka ilosc energii (i jakiej) zostala zgromadzona w niewielkiej objetosci (wokol Naszej Planety) oraz jaki byl mechanizm samego wybuchu. Jak wiemy bowiem z zasady zachowania energii (i jej uogolnien) dla zgromadzenia energii potencjalnej (dla Wielkiego Wybuchu) ktos musial wykonac gigantyczna prace rowna energii zgromadzonej w chwili poczatkowej. Kim byl ow Wielki Fizyk o tym podreczniki nie wspominaja. Jedynym innym rozwiazniem jest ruch periodyczny w skali Wszechswiata, w wyniku ktorego pewne stany powtarzaja sie dokladnie lub z dobrym przyblizeniem realizujac Avatar w skali kosmicznej.  Zanim jednak smialo zabrniemy na pola tak ambitne sprobujmy zobaczyc pewne problemy jakie niesie ze soba mechanika kwantowa juz na bardzo elementarnym poziomie. Na ogol wszelkie ogolne teorie dotyczace zachowania sie i ewolucji w czasie obiektow materialnych powinny miec ta ceche, ze wprowadzane, w miare potrzeby, uogolnienia tych teorii nie przekreslaja uprzedniego dorobku calkowicie ale jedynie rozszerzaja zastosowanie teorii  pierwotnej do regionow uprzednio niedostepnych poznaniu. Tak wiec mechanika kwantowa, jako teoria ogolniejsza,  powinna sie redukowac do mechaniki klasycznej w pewnych, dobrze okreslonych sytuacjach. Podobnie zreszta mechanika relatywistyczna powinna prowadzic do ustalen mechaniki klasycznej gdy predkosci cial sa stosunkowo niewielkie w odniesieniu do predkosci swiatla. Jak wiemy, podstawowa przyczyna, dla ktorej konieczne bylo wprowadzenie kwantowego opisu rzeczywistosci byly obserwacje doswiadczalne sugerujace, ze energie pewnych ukladow na poziomie atomowo-czasteczkowym maja wlasnosc "korpuskularnosci energetycznej" czyli moga byc tylko wielokrotnoscia pewnej podstawowej ilosci (kwantu) energii. Ta mozliwosc sub-atomowosci swiata byla znana juz Newtonowi, ktory uwazal swiatlo za strumien odrebnych choc w jakis sposob powiazanych podstawowych  jednostek elementarnych (teraz znanych jako fotony). Inaczej mowiac wyniki doswiadczalne mogly byc opisane ilosciowo tylko wtedy gdy przyjmiemy zalozenie, ze uklady mechaniczne zwiazane  (czyli o okreslonych i skonczonych rozmiarach przestrzennych w czasie calej swojej ewolucji)  maja dyskretne widmo energii. Jedna zas z konsekwencji takiego opisu bylo to, ze w takich ukladach zwiazanych system zawsze posiadal rozna od zera energie stanu podstawowego, ktorej uklad nigdy nie byl w stanie oddac (o ile przyjmiemy, ze stala Plancka jest wielkoscia stala od wiekow i w przyszlosci). Uklad mogl byc przeniesiony na wyzsze stany energetyczne ale energia "zerowa" to bylo to absolutne minimum, ktore miec musial zawsze. Obie te cechy stoja w sprzecznosci z opisem opartym na mechanice klasycznej, przynajmniej tej z ktora spotykamy sie codziennie, gdyz mechanika klasyczna pozwala ukladowi zwiazanemu (takiemu np jak nasz uklad sloneczny) przyjmowac dowolne wartosci energii jakie sa dopuszczalne w ramach przyjetych ograniczen przestrzennych.

    Dla ustalenia uwagi spojrzmy na najprostszy system modelowy jakim jest punkt materialny (czy kula) umieszczona w jednowymiarowej, prostokatnej jamie potencjalu o nieograniczonej wysokosci. Inaczej mowiac mamy do czynienia z punktem materialnym poruszajacym sie w ograniczonej przestrzeni (odcinku prostej). Z punktu widzenia mechaniki klasycznej a zwlaszcza pierwszej zasady Newtona ("Cialo, na ktore nie dziala zadna sila badz dla ktorego wypadkowa sil jest rowna zeru, pozostaje w spoczynku badz porusza sie ruchem jednostajnym prostoliniowym."), ow punkt materialny ma wylacznie energie kinetyczna. Ta zas moze miec dowolna wartosc wieksza lub rowna zeru. W tym ostatnim przypadku punkt materialny spoczywa na dnie jamy. Wedlug mechaniki klasycznej ruch punktu jest periodyczny a punktami zwrotu sa granice jamy. Na granicach nastepuje odbicie sprezyste, predkosc zmienia kierunek (zachowujac wartosc) i zmierza w kierunku odwrotnym do poprzedniego do momentu napotkania drugiej sciany. Wtedy sytuacja sie powtarza.
    Inaczej widzi ta sytuacje mechanika kwantowa. Po pierwsze, punkt materialny ma tylko okreslone, dyskretne dopuszczalne wartosci energii kinetycznej. Co wiecej istnieje minimalna, rozna od zera wartosc tej energii jaka punkt musi posiadac i ktorej nie moze sie on pozbyc. Mechanika kwantow nie dopuszcza sytuacji, w ktorej punkt materialny (czyli nasze jablko w koszyku) moglby byc w spoczynku wzgledem scian stanowiacych granice systemu. To ze tak sie dzieje mozemy uzasadnic koniecznoscia spelnienia postulatu- nierownosci Heisenberga zabraniajacej jednoczesnej precyzyjnej znajomosci polozenia i pedu czastki. Punkt w stanie spoczynku wobec ukladu laboratoryjnego, jakim sa sciany jamy potencjalu, mialby jednoczesnie ustalone precyzyjnie polozenie oraz predkosc (zerowa). To zas naruszaloby zasade, lezaca u podstaw mechaniki kwantowej, ze te dwie wielkosci nie sa jednoczesnie mierzalne z dowolna precyzja. Podobny problem mamy zreszta z sytuacja w punktach zwrotu (czyli na granicach jamy) gdyz tam znamy dokladnie polozenie i wiemy jednoczesnie, ze predkosc poczatkowa po odbiciu zmienila swoj zwrot. Istnienie "energii zerowej" jest tez w konflikcie z pierwsza zasada dynamiki Newtona gdyz ta wyklucza istnienie stanu spoczynku (wzgledem laboratoryjnego ukladu odniesienia). Jedynym logicznym rozwiazaniem jest istnienie jakis subkwantowych sil, ktore dzialaja nieustannie na wszelkie obiekty nadajac im nieprzewidywalne predkosci.
Tego typu podejscie proponowal Dawid Bohm, jeden z wspoltworcow mechaniki kwantowej ale istota tych sil nie jest sprecyzowana do dzisiaj. Bohm wyrazil ow kwantowy potencjal z pomoca funkcji falowej ukladu ale takie podejscie bylo obciazone bledem logicznym tlumaczenia nieznanego przez nieznane. Podobna wada obdarzony jest model hydrodynamiczny mechaniki kwantowej proponowany przez Birule-Bialynickiego. W obu podejsciach "kwantowy potencjal oddzialywania" jest bowiem funkcjonalem wielkosci jaka staramy sie wyznaczyc (funkcji falowej lub gestosci).
    Przez dlugi czas wi elu kwantowych fizykow uwazalo za niemozliwe jednoczesne mierzenie precyzyjne polozenia i pedu czastki. W chwili obecnej, gdy istnieja coraz precyzyjniejsze "pulapki Penning'a" to twierdzenie bedzie musialo ulec modyfikacji. Obecnie jestesmy w stanie obserwowac pojedynczy atom i okreslic (chociaz moze z nie idelana precyzja) zarowno jego polozenie jak i predkosc.
    Wracajac jednak  do kwantowej teorii czastki w nieskonczenie glebokiej jamie potencjalu zauwazmy, ze czastka moze posiadac tylko wielokrotnosci energii zerowej (grajacej tu role kwantu podstawowego systemu). Mamy bowiem nastepujacy wzor dla poziomow energii (kinetycznej) czastki w jamie

      E(n) = n^2 [ h^2/(8mL^2)]      gdzie n =1,2, 3,...

h jest stala Plancka, m, masa czastki a L szerokoscia jamy. Jak wynika z tego wzoru  czastka w jamie kwantowej moze miec tylko wielokrotnosci pedu podstawowego

 p(n)=( h/2) (1/L) n

    Poziomy energetyczne rozbiegaja sie ze wzrostem n i nie ma mowy o tym aby w jakiejs granicy pojawilo sie ciagle spektrum dla energii, takie jakie wystepuje w mechanice klasycznej. Trudno wiec znalezc tutaj jakas racjonalna metode przejscia granicznego od opisu kwantowego do klasycznego. Jest to niepokojace gdyz wzory kwantowe nie klada wyraznych ograniczen na masy czastki czy rozmiary jamy. Na ogol stosujemy opis kwantowy do zjawisk na poziomie molekularnym i sub-molekularnym pozostajac przy mechanice klasycznej dla ukladow makroskopowych. W zasadzie jednak nie ma powodu aby tak robic. Stosowanie mechaniki klasycznej moznaby uzasadniac wygoda, gdyz podstawowe rownania ruchu sa w niej prostsze niz rownania mechaniki falowej. Uzasadnienie takie wymaga jednak tego aby istniala dobrze okreslona procedura graniczna, w efekcie ktorej rownania mechaniki klasycznej wynikaja z rownan czy wynikow mechaniki kwantowej.
   Spojrzmy jeszcze na drugi, takze bardzo podstawowy system, jakim jest jednowymiarowy oscylator harmoniczny. System taki (i jego uogolnienie dla trzech lub wiecej wymiarow) pojawia sie w wielu bardzo podstawowych rozwazaniach fizycznych. Tu jednak zajmiemy sie wylacznie aspektem relacji teorii klasycznej i kwantowej tego samego obiektu. Opis oparty o mechanike klasyczna jest logiczny i prosty. Hamiltonian (czyli energia calkowita) takiego osylatora jest suma energii kinetycznej i potencjalnej:

       H = (mv^2)/2 + (kx^2)/2

gdzie m jest masa czastki, v - predkoscia,  a x wychyleniem od polozenia minimum potencjalu. k - to stala silowa  czyli parametr kontrolujacy wielkosc przyciagania. Rownanie ruchu, wynika z warunku na stalosc calkowitej energii (dH/dt =0) badz, z drugiej zasady dynamiki Newtona:

      d^2/dt^2 x[t] + k/m x[t]  =0

Czastka osiaga wychylenie maksymalne (punkt zwrotny)  czyli amplitude oscylacji A = Sqrt[2H/k] wtedy gdy jej predkosc ruchu w parabolicznej studni potencjalu osiagnie zero. Maksymalna predkosc V(max) = Sqrt[2H/m] jest osiagana wtedy gdy czastka przechodzi przez minimum potencjalu (x=0). Rozwiazanie rownania ruchu mozna zapisac w postaci

     x[t]=A cos (st +f)

gdzie s jest czestoscia oscylacji
     s^2 =k/m

 a f jest faza

    f=arc cos [x[0]/A].

Mozemy teraz wyrazic calkowita energie osylatora przez amplitude drgan i czestostliwosc :

     E= m/2 s^2 A^2

Jak widzimy energia oscylatora zalezy wylacznie od parametrow ruchu czastki w polu parabolicznego potencjalu. Jest to wynik logiczny i sprawdzony na oscylatorach makrospkopowych (np na wahadle). Tak wiec mechanika klasyczna mowi nam, ze energia oscylatora ma widmo ciagle i zalezy od kwadratu amplitudy i kwadratu czestosci drgan.

   Oscylator harmoniczny jest jednak takze przedmiotem wielkiego zainteresowania mechaniki kwantowej i wlasciwie jednym z tych problemow, ktore zapoczatkowaly caly rozwoj tej teorii (teoria Plancka widma ciala doskonale czarnego). Stosujac metody mechaniki kwantowej dowiadujemy sie jednak czegos innego. Po pierwsze widmo wartosci stacjonarnych energii calkowitej jest dyskretne. Poziomy energetyczne dozwolone sa rozmieszczone rownomiernie - kazdy nowy poziom rozni sie od nizszego o identyczny kwant energii wynoszacy: e(0)= h s. Mamy takze niezbywalna energie zerowa oscylacji wynoszaca 1/2 e(0). Tak wiec poziomy energii calkowitej oscylatora harmonicznego sa dane wzorem Plancka

    E(n)= h s (n +1/2)

   Czestosc drgan, s, jest dana wzorem identycznym jak w teorii klasycznej ale zaleznosc energii od czestosci jest liniowa ( a nie parboliczna jak w teorii klasycznej). W dodatku we wzorze wystepuje uniwersalna stala (Plancka) h, ktora nie ma oczywistego odniesienia do mechanicznych wlasnosci samego oscylatora. Tak wiec dwa opisy: klasyczny i kwantowy, prowadza do zupelnie innych wnioskow jesli chodzi o wlasnosci tak podstawowej wielkosci jaka jest energia oscylatora. Nie jest tez jasne w jaki sposob mechanika kwantowa, jako teoria ogolniejsza,  moglaby sie redukowac do rozwiazn klasycznych w wyniku jakiejs dobrze uzasadnionej procedury. Jest oczywiste, ze cos jest tutaj nie w porzadku! Ta niepokojaca rozbieznosc przewidywan, chociaz niemal nigdy nie wspominana w podrecznikach fizyki kwantowej, zaniepokoila juz jednego z tworcow mechaniki falowej, Erwina Schroedinger'a, ktory w 1926 roku zaproponowal raczej niezadawalajace moim zdaniem rozwiazanie tego dylematu. Wedlug Schroedingera oscylujaca czastka powinna byc traktowana jako tak zwana paczka falowa (a nie funkcja wlasna operatora pedu czy energii). Fizycznie taka propozycja oznaczala zalozenie, ze oscylujaca czastak porusza sie w pewnym korytarzu, ktorego osia jest klasyczna trajektoria. Mamy wiec do czynienia z czyms co przypomina podroz pijaka wzdluz korytarza. Pijak zamiast isc srodkiem korytarza odbija sie od sciany do sciany jednoczesnie podazajac w wybranym kierunku osi korytarza. Taka propozycja byla zapewne inspirowana orginalnym rozwiazaniem Plancka, ktory takze wprowadzil element statystyczny w celu przewidywania liczby kwantow promieniowania przypadajacych na widmo termiczne o zdefiniowanej czestosci. O ile jednak wprowadzenie elementu statystycznego bylo uzasadnione w przypadku problemu rozwiazanego przez Plancka (cialo czarne moglo byc interpretowane jako zespol osylatorow o roznej energii sredniej- nowoscia bylo to, ze Planck przyjal, iz energia przypadajaca na oscylator o danej czestosci mogla zalezec od tej czestosci.), to takiego uzasadnienia nie ma w przypadku omawianym wyzej. Chodzilo bowiem o rozwiazanie czystego  poblemu mechaniki, w ktorym czastka o okreslonej energii porusza sie w parabolicznej studnii potencjalu,  a nie problemu  zespolu oscylatorow badz oscylatora pojedynczego z losowym rozkladem wartosci poczatkowych. Nie mniej, jesli podazymy dalej droga rozumowania Schroedingera to znajdziemy, ze srednia energia  kwantowego oscylatora, opisanego wybranym przez niego pakietem falowym, wynosi

   E = h s {n +1/2}

  gdzie sredni stan energetyczny n  (czyli liczba kwantow podstawowych , hs, w posiadaniu czastki) jest zdefiniowany jako stosunek energii klasycznej oscylatora do energii kwantu e(0)

    n = 1/2 m s^2 A^2 /(hs)

 W wyniku ostatecznym dowiadujemy sie, ze srednia energia oscylatora kwantowego jest suma :

  E = 1/2 m s^2 A^2 + 1/2 hs

Wszystko wiec, co wniosla mechanika kwantowa do tego problemu to dodanie  energii zerowej do wyniku klasycznego.

    Dokladne omowienie tego aspektu ogolniejszego problemu relacji pomiedzy klasyczna a kwantowa mechanika mozna znalezc np w monografii Landau'a i Lifszyc'a " Mechanika kwantowa - teoria nierelatywistyczna" PWN 1979,  & 23, przyklady) badz w pierwszym tomie znanego podrecznika Messiah'a  (A. Messiah, "Quantum Mechanics", Wiley). Nie mniej , rozwiazanie Schroedingera, mimo ze bardzo pomyslowe, w gruncie rzeczy niczego nie rozwiazuje. Jak to ma miejsce przy wielu innych problemach fizyki teoretycznej aparat matematyczny jakim sie on posluguje byl umyslnie dostosowany do tego aby uzyskac wynik taki jaki byl pozadany.

   Do dzisiaj nie wiemy, czy istota mechaniki kwantowej polega na tym, ze obiekty materialne podlegaja dodatkowym silom kwantowym, wywodzacym sie od jakiegos subkwantowego srodowiska  czy tez  jest byc moze tak, ze klasyczna energia oddzialywania pomiedzy czastkami musi byc uzupelniona przez nieprzewidywalny na gruncie mechaniki klasycznej wklad potencjalnej energii o naturze kwantowej.

   Zauwazmy jednak jaka role gra w calej teorii kwantowej energia zerowa. Jest ona z reguly funkcja stalej Plancka a wiec jest konsekwencja kwantowej struktury wszechswiata. W przypadku jamy potencjalu, ta zaleznosc jest paraboliczna a w przypadku oscylatora harmonicznego - liniowa. Nie mniej, jesli przyjmiemy moja hipoteze o wolnej zmiennosci w czasie tejze stalej to mozemy przypuscic, ze caly materialny wszechswiat powstal z poczatkowej energii zerowej w wyniku jej zmniejszania sie od stanu poczatkowego o wysokiej wartosci stalej , h(t=0), do chwili obecnej. Duze wartosci stalej Plancka, sugeruja duza dyspersje polozenia lub pedu czastki a wiec znaczne mozliwe odchylenia od trajektorii klasycznej. To zas sugeruje , ze stala Plancka gra w jakims stopniu role analogiczna do temperatury lazni cieplnej w klasycznej mechanice statystycznej z tym, ze laznia jest tutaj jakies subkwantowe srodowisko (pole Higgs'a?) wypelniajace caly Kosmos, nieruchome w przestrzeni i stanowiace osrodek w ktorym przenosza sie oddzialywania (np fale elektromagnetyczne). W tej interpretacji galaktyki i ich czesci skladowe (gwiazdy i planety) bylyby czyms w rodzaju owocow zawieszonych w subkwantowym budyniu.

    Dalszy ciag dekonstrukcji teorii kwantow i fizyki wspolczesnej nastapi. Chwilowo zas pamietajmy tylko to, ze wiedza nasza jest niedoskonala i ufnosci w niej  ani tez w jej glosicielach pokladac nie mozemy.