Monday, June 10, 2013

Jeszcze troche o mechanice kwantowej

   W uprzednim wpisie pokazalem na prostym przykladzie, ze stany zwiazane czastki moga byc uzyskane w wyniku czysto klasycznych obliczen. Wszystko co jest konieczne to wybranie odpowiednich wartosci poczatkowych z calego dostepnego zbioru w przestrzeni fazowej (czyli kartezjanskiej przestrzeni, w ktorej na osiach wspolrzednych odlozone sa dopuszczalne wartosci dla polozen i pedow (badz predkosci) uogolnionych. W przypadku klasycznego oscylatora w jednym wymiarze zbior zmiennych przestrzeni fazowej sklada sie z odchylenia od stanu rownowagi mechanicznej zawartego pomiedzy minus a plus nieskonczonoscia i podobny "nieskonczony" zbior charakteryzuje ped. Aby uzyskac wynik kwantowy musimy wybrac szereg podzbiorow charakteryzujacych sie zaleznoscia :  x p =  nh/(2 Pi) ( n=0,1,2,3,....). Jest to rodzina hiperbol (patrz rysunek).

   Wartosci poczatkowe otrzymujemy z warunku na minimum hamiltonianu oscylatora (jako funkcji albo x albo x'), w ktorym wyrugowano jedna ze zmiennych (x lub x') uzywajac zaleznosc podana wyzej. W efekcie dostajemy scisle rozwiazania rownania ewolucji dla x[t] i x'[t] spelniajace warunek kwantowania poziomow energetycznych oscylatora: E=nhv. Moi Szanowni Czytelnicy nie zdaja sobie z tego zapewne sprawy ale jest to wynik, ktorego prozno by szukac w podrecznikach akademickich poswieconych wykladowi tej dziedziny. Madrosc ostatnich 90 lat mechanikow kwantowych mowi im  bowiem, ze taki wynik jest w bezposredniej kolizji z zasada nieoznaczonosci. Polozenia i pedy czastki kwantowej nie moga byc bowiem scisle znane jednoczesnie (a wiec nie powinny istniec scisle wyrazenia dla polozen i predkosci czastki), a wedlug licznej grupy specjalistow, sa one nawet jednoczesnie niepoznawalne. Tymczasem jak widac nic podobnego nie ma miejsca. Wyglada raczej na to, ze cala mechanika kwantowa jest szczegolnym przypadkiem mechaniki klasycznej! Wszystko co trzeba aby dostac wynik "kwantowy" to dobrac odpowiednio warunki poczatkowe problemu klasycznego.

    Mozemy jednak zapytac o fizyczne znaczenie warunku px = nh/(2 Pi). Jak latwo bowiem sprawdzic jezeli mamy skwantowany skalarny moment pedu to mamy takze skwantowana energie czastki i odwrotnie. Aby sprecyzowac fizyczne znaczenie tego warunku przypomnijmy sobie wazna acz takze koncepcyjnie niejasna hipoteze jaka wysunal  Louis de Broglie w swojej pracy doktorskiej. Postawil on bowiem teze mowiaca, ze dla kazdego punktu materialnego o masie m i pedzie p istnieje takze "fala materii" o dlugosci L = h/p. O to czym wlasciwie jest ta fala - rozlozona w przestrzeni gestoscia masy czy tez moze prawdopodobienstwem znalezienia jakiegos fragmentu punktu materialnego w przestrzeni otaczajacej lokacje punktu centralnego (zapewne srodka masy) sprzeczano sie pozniej dosyc dlugo i do dnia dzisiejszego ten problem nie ma definitywnego rozstrzygniecia. Z biegiem czasu nazwisko de Broglie zniknelo niemal calkowicie z nowoczesnych podrecznikow akademickich, ktore staly sie coraz bardziej sformalizowana prezentacja matematyki stosowanej. Nie mniej jesli podstawimy relacje de Broglie'a do warunku na skwantowanie skalarnego momentu pedu to otrzymamy  h x/L = nh/(2 Pi) albo 2 Pi x= nL.  Zaleznosc ta przypomina prawa dyfrakcji optyki i mowi nam, ze poczatkowe (w chwili t=0) przesuniecie punktu materialnego musi byc proporcjonalne do calkowitej wielokrotnosci dlugosci fali materii czymkolwiek by ta ostatnia nie byla.

   Jak z tego wynika stany zwiazane maja dyskretne spektrum energii dlatego, ze dopuszczalne przemieszczenia musza zawierac calkowite wielokrotnosci fali materii zwiazanej z drgajacym punktem materialnym oscylatora. Nasuwa sie wobec tego pytanie czy takie dyskretne spektrum jest typowa cecha oscylacji harmonicznych jakiegokolwiek pochodzenia czy tez jest  konsekwencja tego, ze mamy tu do czynienia z punktem materialnym wykonujacym drgania. Znaczenie teorii oscylatora harmonicznego w fizyce wykracza bowiem daleko poza problem drgan mechanicznych. Ogolna odpowiedz stosuje interpretacje rozszerzona. Kazdy obiekt (np pole elektromagnetyczne) , ktorego hamiltonian  moze byc przedstwiony w postaci oscylatora harmonicznego (badz zespolu oscylatorow) pewnych wielkosci bedzie mial dyskretna strukture energetyczna.
     Aby zobaczyc dlaczego taka interpretacja moze byc trudna do zrozumienia spojrzmy na nieco odmienny uklad dynamiczny, ktory wystepuje w nauce o elektrycznosci i magnetyzmie. Mam na mysli obwod drgajacy o nieistniejacym oporze omowym. To ostatnie zalozenie jest malo realne ale konieczne do tego abysmy mieli uklad zachowawczy. Energia calkowita (hamiltonian) takiego obwodu jest suma energii przeplywu pradu , E(kin) = 1/2 L i^2 oraz energii potencjalnej ladunku znajdujacego sie na okladkach kondensatora E(pot)= q^2/(2C)  (patrz plansza). Zwazywszy, ze i(t)= dq/dt mozemy przyjac za wspolrzedne fazowe problemu pare {q(t),q'(t)}. Indukcyjnosc cewki, L, gra tu role miary bezwladnosci (czyli masy) a odwrotnosc pojemnosci kondensatra (1/C) jest analogiem stalej silowej oscylatora.

   Hamiltonian takiego ukladu mozemy zapisac w postaci:

      H = 1/2 L (q' ^2) +1/2 (1/C) q^2

a rozniczkujac hamiltonian wzgledem czasu dostajemy rownania ruchu systemu- czyli wzor okreslajacy zmiany ladunku na okladkach kondensatora  jako funkcje czasu:

     (LC) q'' +q =0

Czestosc kolowa drgan obwodu

      s^2 = 1/(LC)

   Jest to wiec rownanie oscylatora harmonicznego o czestosci kolowej s = (1/(LC))^1/2. Ogolne rozwiazanie rownania tego typu podalem uprzednio. Mozna sie jednak zastanowic czy rowniez w tym przypadku mamy (badz mozemy miec rownie) widmo dyskretne energii obwodu drgajacego (H =nhs/(2Pi)) odpowiadajace warunkowi kwantowania  skalarnego elektrycznego momentu pedu  Lq'q=nh/(2Pi). Jesli tak, to mielibysmy oczywiscie takze skwantowane ladunki i natezenia pradu w obwodzie. Ze wzgledu na stosunkowo niewysokie czestosci (rzedu czestosci radiowych , dla UKF ~ 300 MHz , mikrofale 3000 GHz) te poziomy energetyczne obwodu drgajacego moga lezec blisko siebie ale gdyby udalo sie stwierdzic ich istnienie to mielibysmy interesujacy, bo makroskopowy, dowod poprawnosci i ogolnosci teorii kwantowej. Warto sie tez zastanowic jakie fizyczne znaczenie ma w tym przypadku fala de Broglie'a , ktora w tym wypadku wiazala by sie z indukcyjnoscia cewki (w tym przykladzie dlugosc fali = h/(Lq') ).
    Musze przyznac, ze od czasow dosyc odleglych nie mialem wiele do czynienia z radiotechnika ale nie przypominam sobie abym gdzies czytal o kwantyzacji energii czy pradow w obwodzie drgajacym. Moze jednak ktorys z Szanownych  Czytelnikow jest lepiej zaznajomiony z ta dziedzina wiedzy i zechce cos powiedziec na ten temat.

   

No comments: