Kolorowy plaszcz Jozefa i nedza nauki

   Czesto spotykam sie z entuzjastami postepu i naukowego swiatopogladu, ktorzy sami nigdy nie zajmowali sie naukami scislymi i wiedza o tych zagadnieniach tyle ile wyniesli ze szkoly sredniej badz dowiedzieli sie czytajac ksiazki popularyzatorow nauki. Sa to z reguly mili  mlodzi lub nie tak bardzo mlodzi ludzie, ktorzy daza mnie zaufaniem odpowiednim dla kaplana nowego, naukowego wyznania wiary. W ich optymistycznym przekonaniu zyjemy w wieku nauki, ktora rozwiazala juz glowne zagadki szeroko pojmowanej Natury a te zas, ktore jeszcze sa niezupelnie rozumiane zostana rozwiklane w najblizszym czasie. Nauka a zwlaszcza nauki scisle i przyrodnicze kreuja zas nie tylko swiatopoglad wspolczesnosci ale takze dostarczaja niemal na zamowienie rozkoszne zabawki wspolczesnego swiata poczynajac od gadzetow telekomunikacyjnych czy czystym, dziewiczym akryliku a konczac na polispermii i zdrowej, genetycznie modyfikowanej, zywnosci. W ten sposob nauka zastepuje rozne  religie, ktore niegdys takze dostarczaly syntetycznego "obrazu" swiata doczesnego. Wierzenia religijne sa zas traktowane "z przymrozeniem oka" jako cos rownie basniowego jak mity greckie czy wedy hinduskie nie wspominajac juz o legendach hebrajskich, na ktorych bazuje Nasza Swieta Religia Katolicka.

    Musze przyznac, ze ten nowoczesny stosunek do nauki nawet mi odpowiada gdyz trudno zaprzeczyc, ze doktrynalna struktura wszystkich religii cierpi na logiczne luki oraz brak dostatecznych dowodow dla calkiem fundamentalnych stwierdzen. Tak sie jednak sklada, ze co najmniej rownie niespojny logicznie jest wspolczesny naukowy model swiata. Doktryna nauki ma bowiem strukture "wyspowa", przejawiajaca sie w tym, ze pewne  jej dziedziny sa opracowane lepiej i scislej pod wzgledem ich logicznej struktury inne zas znane sa gorzej. Czesto tez brak jest jakze koniecznej wiezi miedzy poszczegolnymi specjalizacjami. Jest to spowodowane ogromem wiedzy jaki musi opanowac kazdy adept ale takze tym, ze profesorowie niejednokrotnie celowo unikaja prezentacji studentom tych problemow co do ktorych sami nie czuja sie zbyt pewnie. Najwieksza zas wina lezy po stronie popularyzatorow nauki, ktorzy niezmiernie rzadko stawiaja przed czytelnikiem problemy pojeciowe czy kontrowersyjne zadawalajac sie splycaniem materialow, ktore znalazly juz miejsce w specjalistycznych podrecznikach i ktore sa uwazane za cos bezdyskusyjnego. Ulatwia to oczywiscie uzyskanie pozytywnej opinii recenzentow ale takze calkiem niepotrzebnie powoduje wrazenie ze gmach nauki przypomina budowle doskonala (np piramide) podczas gdy w istocie jest on bardziej podobny do zbudowanej z odpadkow chatki  meksykanskich slumsow.

   Jest ogolnie przyjete a moze nawet logicznie uzasadnione aby uwazac, ze teorie ogolniejsze powinny zawierac w sobie teorie szczegolowsze jako szczegolny przypadek. Dotyczy to zwlaszcza sytuacji gdy teoria ogolniejsza czy teoria wyzszego rzedu powstala podczas proby odpowiedzi na pytanie badz pytania, na ktore odpowiedzi nie dawala wczesniejsza teoria bardziej szczegolowa. Tak na przyklad powstala teoria kwantow zwana takze mechanika falowa. Bodzcem empirycznym dla jej powstania bylo pare obserwacji, ktorych, jak sie wydawalo,  nie mozna bylo w sposob logiczny i matematyczny wyjasnic na gruncie mechaniki klasycznej. Stanowila ona odpowiedz na pytania dotyczace wlasnosci czastek elementarnych oraz atomow a takze ogolniej czastek zlozonych takich jak molekuly.  Sam jednak matematyczny rdzen mechaniki kwantowej nie precyzowal jak male musza byc owe  obiekty i kiedy to powinien byc wystarczajacy opis ich ruchu metodami mechaniki klasycznej. Ta tajemnicza granica stosowalnosci pozostaje nadal zagadka mimo, ze od samego polozenia podstaw tej nowej teorii ruchu uplynelo juz niemal sto lat. Na przyklad jest raczej zupelnie pewne, ze lot pocisku czy jest nim kula karabinowa , kamien z procy czy strzala z kuszy nie wymaga opisu przy uzyciu aparatu teorii kwantowej. Jesli jednak stopniowo zmniejszamy mase czy rozmiary pocisku , na przyklad, do wielkosci pojedynczego atomu olowiu czy elektronu to mozemy oczekiwac, ze opis takiego ruchu (w prozni) bedzie wymagal juz mechaniki falowej. W jakim jednak momencie nastepuje ow przeskok stosowalnosci teorii nie jest wcale jasne. Mechanika klasyczna opierala sie bowiem na szeregu calkiem logicznych zalozen takich jak to, ze kazdy uklad dynamiczny moze byc opisany pewnym zespolem zmiennych (nazwanych stopniami swobody ukladu albo jego uogolnionymi wspolrzednymi), ktore wystarczaja do opisu jego stanu w danym momencie czasu. Wraz z uplywem czasu wartosci owych stopni swobody ulegaja zmianie i wobec tego kolejne konfiguracje ukladu generuja trajektorie w odpowiednio wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej (czyli przestrzeni kartezjanskiej na osiach ktorej reprezentowane sa wartosci stopni swobody ukladu). Aby jednak dowiedziec sie jak szybko zmieniaja sie owe konfiguracje musimy powiekszyc zbior zmiennych o odpowiednie wielkosci kinetyczne czyli szybkosci uogolnione opisujace zmiane wartosci stopni swobody z uplywem czasu. Jesli powiekszymy wymiar przestrzeni dolaczajac do zbioru wspolrzednych rowniez i predkosci zmian to otrzymamy tak zwana przestrzen fazowa ukladu w ktorej ewolucja tego ukladu jest przedstawiona w postaci trajektorii fazowej czyli krzywej, na ktorej kazdy punkt reprezentuje pelny zbior uogolnionych wspolrzednych i szybkosci ukladu w danym momencie. Podstawowym zalozeniem mechaniki newtonowskiej bylo to, ze kazdy punkt na tej trajektorii moze byc traktowany jak nowy punkt pocztkowy , z ktorego uklad rozpoczyna swoja ewolucje. Inaczej mowiac mamy do czynienia z grupa przeksztalcen (zwanych kanonicznymi). Taka ewolucja byla takze "odwracalna w czasie" czyli dla dowolnego, koncowego punktu trajektorii moglismy znalezc w przeszlosci punkt wyjsciowy odpowiadajacy zadanemu czasowi ewolucji. Byla to wiec teoria w pelni deterministyczna. Oczywiscie do opisu mozna bylo wprowadzic element losowosci jesli, na przyklad, stan poczatkowy ukladu byl znany tylko pod wzgledem probabilistycznym (czyli gdy znany byl tylko rozklad prawdopodobienstwa poczatkowych wspolrzednych i predkosci).

   Inna metoda  randomizacji problemu bylo poddanie ukladu dzialaniu losowego zaburzenia ruchu. W tym wypadku ewolucja ukladu nabiera cech nieprzewidywalnosci z tego wzgledu, ze rozwoj sytuacji jest calkowicie badz czesciowo kontrolowany przez nieznane obserwatorowi czynniki zewnetrzne. Ewolucja ukladu bylaby wiec nieodwracalna gdyz nie bylibysmy w stanie odtworzyc historycznych wartosci czynnika zaburzajacego. Jak mowi nam doswiadczenie, oparte co prawda na obiektach wystarczajaco makroskopowych, ewolucje ukladow fizycznych nie sa jednak calkowicie niepoznawalne. Gdyby bowiem w swiecie panowal kompletny agnostycyzm naukowy nie bylibysmy w stanie zaprojektowac niczego.  Mechanika kwantowa nie twierdzi zreszta, ze swiat mikroskopowy jest zupelnie niepoznawalny. Naklada jednak pewne ograniczenia na to z jaka dokladnoscia znac mozemy, na przyklad, polozenia i predkosci (uogolnione) obiektow "malych" , ktorych malosc jest jednak raczej niesprecyzowana. Zauwazmy, ze sama losowosc tych podstawowych danych mechaniki klasycznej nie jest praktyczna przeszkoda w stosowaniu mechaniki newtonowskiej. Tym wlasnie zajmuje sie miedzy innymi klasyczna mechanika statystyczna. Mechanika kwantowa  siega dalej twierdzac, ze istnieje bezposrednia zaleznosc pomiedzy aktualnym polozeniem (czy wspolrzedna uogolniona) czastki a jej pedem (czy predkoscia uogolniona). Inaczej mowiac te wielkosci nie sa wzajemnie niezalezne, jak to sugeruja typowe klasyczne rownania ruchu ale ze istnieje miedzy nimi pewien zwiazek wystepujacy przynajmniej wtedy gdy wchodzace w gre miary bezwladnosci (jak masa)  sa nieduze. Wchodzimy zreszta tutaj w jeden z obszarow wiedzy, w ktorym filozofia splata sie z matematyka ewolucji ukladow. Dlatego tez jedni fizycy z uporem twierdza, ze nie istnieje nic takiego jak trajektoria ewolucji ukladu  (bowiem znajac trase przelotu czastki, np w komorze Wilsona,  nie mozemy przypisac tejze czastce predkosci w dowolnym miejscu trajektorii) inni zas z rowna pewnoscia twierdza, ze sam fakt praktycznej  niemierzalnosci czegos nie oznacza, ze owa wielkosc nie istnieje. Zajac poznania moze bowiem kicac po laczce wiedzy mimo tego, ze nie bylismy go w stanie pochwycic.

   W chwili obecnej sama teoria kwantow osiagnela juz wysoki stopien akceptacji w srodowisku poslugujacym sie ta dyscyplina zawodowo. Zakres jej stosowalnosci rozciagnieto smialo az po obiekty rozmiarow astronomicznych i osoby tak powazne jak Prof. M. Gell Mann czy Prof  S. Hawking bez mrugniecia okiem posluguja sie takim pojeciem jak funkcja falowa wszechswiata czy kwantowa mnogosc kosmosow. Ta bezpodstawna pewnosc siebie jest charkterystyczna cecha fizykow przyjmowana zreszta bez protestu przez ogol wspolobywateli, ktorych ani wyksztalcenie ani zainteresowania nie siegaja az tak daleko.
Nie mniej warto jest moim zdaniem spojrzec krytyczniej na same podstawy logiczne mechaniki kwantowej i dyscyplin pokrewnych gdyz jak wiemy samo bibilijne stwierdzenie "Po owocach ich poznacie ich" jest obdarzone logicznym bledem. Moze sie bowiem zdarzyc prawdziwe nastepstwo wywiedzione z falszywych przeslanek.

  Aby jednak nie zatonac w ogolnikach spojrzmy na kilka przykladow. Mechanika klasyczna, a ogolniej teoria ukladow dynamicznych, zaklada, ze ewolucja systemu przebiega w ten sposob, iz kolejne konfiguracje (uogolnione wspolrzedne) przechodza jedna w druga w sposob ciagly badz skokowy ale wedlug jakiejs stalej prawidlowosci (zwanej rownaniem ruchu). Parametrem ruchu jest czas. Jest on wiec takze parametrem grupy przeksztalcen kanonicznych. Najdziwniejszym do zrozumienia twierdzeniem mechaniki kwantowej jest to, ze owa sekwencja przeksztalcen faktycznie nie istnieje (a wiec tez nie istnieje trajektoria ruchu). Druga, rownie dziwaczna cecha ruchu kwantowego jest (wedlug klasykow)  nieistnienie tych wielkosci fizycznych jakie nie sa jednoczesnie mierzalne. Ta zasada, znana pod nazwa  prawa nieoznaczonosci Heisenberga jest czesto przedstawiana jako wynik praktyki pomiarowej. Sam akt mierzenia pewnej wielkosci zakloca wielkosc druga tak, ze jej wartosc nie moze byc poznana. To jednak, ze pewnych wielkosci nie mozna mierzyc jednoczesnie nie powinno oznaczac fundamentalnego nieistnienia tych wielkosci, ktorych zmierzyc nie mozna. Ogolnie rzecz biorac aby wyznaczyc stan uogolnionego polozenia X[t] w chwili t +dt musimy znac wyjsciowa wartosc wspolrzednej oraz szybkosc jej zmiany (jest to faktycznie tresc pierwszej zasady dynamiki)

    X[t+dt] = X[t] + X'[t] dt                                (1)

gdzie X'[t] = dX[t]/dt  jest uogolniona predkoscia. Jesli napiszemy ta wielkosc korzystajac z definicji pochodnej

   X'[t] =   Lim  (X[t+dt]- X[t])/dt dla dt dazacego do zera   (2)

to istotnie widzimy, ze predkosc w chwili  t mozemy wyznaczyc znajac polozenie aktulane, X[t] oraz pozniejsze polozenie X[t +dt]. W chwili t tego ostatniego polozenia znac jednak jeszcze nie mozemy  bo uklad dopiero zmierza w kierunku zmiany konfiguracji. Mechanika klasyczna postulowala zatem nastepna infinitezymalna zaleznosc dla predkosci uogolnionej w postaci

   X'[t+dt] = X'[t] + X"[t] dt         (3)

gdzie wielkosc X"[t], czyli przyspieszenie, jest przyczyna zmiany predkosci,

   X"[t] = dX'[t]/dt     (4)

Powyzsza zaleznosc jest faktycznie postacia drugiej zasady dynamiki newtonowskiej.

   Aby uzyskac rownanie ruchu nalezalo ta druga pochodna X[t] przedstawic jako funkcjonal X[t] i X'[t]. W ten sposob powstale rownanie ruchu bylo rownaniem rzadu drugiego, do rozwiazanie ktorego potrzebna byla znajomosc X[0] i X'[0] czyli polozenia i predkosci w chwili poczatkowej. Te dwie wielkosci stanowily poczatkowe parametry ruchu. Sama mechanika nie daje nam jasnego przepisu na to jak ma wygladac funkcjonalna postac uogolnionych sil (czyli przyspieszen z jakimi zmieniaja sie wartosci stopni swobody). Ta informacje musi wniesc sam zainteresowany fizyk na podstawie intuicji badz danych eksperymentalnych.
    Tak powstale rownanie ruchu pozwalalo wyznaczyc uogolnione polozenia (czyli wartosci stopni swobody) oraz uogolnione predkosci w dowolnej, pozniejszej chwili czasu.  To zas czy te poczatkowe wartosci polozen i predkosci byly znane precyzyjnie czy tez tylko z pewna dokladnoscia (czego domagala sie zasada nieoznaczonosci) nie gralo wiekszej roli pod wzgledem teoretycznym.
   Istotna cecha mechaniki klasycznej bylo to, ze nie postulowala ona zadnych ograniczen na to jak ma wygladac spektrum energetyczne rozwazanego ukladu.   Dla kazdego ukladu dynamicznego mozna bylo znalezc pewna wielkosc skalarna , zalezna od stosownych zmiennych {X, X'}, ktora pozostawala niezmienna podczas ewolucji ukladu autonomicznego (czyli bez oddzialywania z zewnetrznym czynnikiem zaburzajacym ewolucje) i ktora, jesli zostala podana wczesniej, pozwalala wyznaczyc rownania ruchu ukladu. Taka wielkosc identyfikowano  z energia ukladu. Stanowila ona zreszta cos co mozna bylo nazwac alternatywna definicja ukladu dynamicznego. Moglismy bowiem definiowac uklad przez rownania ruchu i z ich pomoca wyznaczac stale ruchu (a zwlaszcza energie ukladu) albo tez wprowadzic pojecie energii systemu jako pojecie poczatkowe i z niej wyznaczyc rownania ruchu. Taki system pojeciowy wydawal sie, calkiem slusznie, logiczny wiekszosci osob zainteresowanych tym problemem. Wartosc energii ukladu byla zdeterminowana wartosciami poczatkowymi zmiennych (w przestrzeni fazowej)  {X, X'} i to bylo wszystko co od tej wielkosci mozna bylo wymagac. 

   Tym co spowodowalo pewne rozczarowanie tak logicznie sformulowana teoria ewolucji ukladu dynamicznego na poczatku wieku XX byl zaobserwowane fakty sugerujace, ze widmo energetyczne pewnych ukladow (a mianowicie tzw ukladow zwiazanych) jest dyskretne. Inaczej mowiac struktura energetyczna ukladow zlozonych z przynajmniej dwoch elementow powiazanych ze soba w sposob trwaly posiada pewne, uprzywilejowane wartosci jakie moze przyjac ich energia wzajemna. Pewne stany energetyczne byly wiec "uprzywilejowane" w jakis sposob. Jak to dokladnie wygladalo i jakie byly tego przyczyny tego dokladnie nie wiemy nawet obecnie. Pojecie stanow zwiazanych bylo oczywiscie dobrze znane i mechanice klasycznej. Takimi ukladami sa na przyklad uklady planetarne czy takie proste obiekty jak oscylator czy rotator a takze problemy ruchu w skonczonej przestrzeni (np w studni potencjalu czyli problem kulki w zlewce). Mechanika klasyczna nie widziala jednak powodu aby energia takich ukladow  byla obdarzona jakimis dodatkowymi ograniczeniami poza tym, ze nie mogla ona przekroczyc wartosci progowej, ktora decydowala o pozostawaniu ukladu w stanie zwiazanym (czyli ponizej progu dysocjacji na skladniki ). Tymczasem dane doswiadczalne, wynikajace z rozwoju spektroskopii atomowej, sugerowaly dyskretnosc widma promieniowania emitowanego badz absorbowanego przez atomy. Wydawalo sie rozsadnym by taka emisje promieniowania laczyc z przeniesieniem elektronu jako nosnika energii pola elektrycznego generowanego przez jadro atomu. To zas wymagalo zbudowania modelu atomu jako stanu zwiazanego elektronu poruszajacego sie w polu dodatnio naladowanego jadra. Paradoksalnie zreszta, podstawy nowego podejscia do mechaniki ewolucji ukladow polozyla praca zasluzonego niemieckiego profesora Maxa Plancka, ktory sprobowal rozwiazac inny, klasyczny problem optyki fizycznej, jakim bylo wyjasnienie struktury widma (ciaglego) emitowanego przez cialo doskonale czarne. Jest to promieniowanie termiczne jakie emituja ciala ogrzane do pewnej temperatury i bedace w rownowadze emisyjno-absorpcyjnej z emitowanym przez nie polem elektromagnetycznym. Promieniowanie termiczne generuja elektrony poruszajace sie i hamowane w siatce krystalicznej ciala stalego. Taki model jest jednak zbyt skomplikowany do rozwazan i dlatego Planck potraktowal owe elektrony przewodnictwa oddzialywujace  z jadrami sieci jako zespol oscylatorow harmonicznych o pelnej gamie czestotliwosci drgan. Zastosowanie klasycznej mechaniki statystycznej prowadzilo do wniosku, ze ilosc energii jaka powinien posiadac kazdy oscylator powinna byc identyczna (i wynosic kT/2). Ten wynik, chociaz poprawny teoretycznie, byl jednak w sprzecznosci z obserwowana doswiadczalnie zaleznoscia, ktora sugerowala, ze owa ilosc energii zalezy bardzo wyraznie od czestotliwosci drgan oscylatora. Aby ten wynik otrzymac Planck zdecydowal sie na postawienie hipotezy mowiacej, ze oscylator moze przyjmowac energie (od promieniowania) tylko w postaci energetycznych pakietow, ktorych energia byla proporcjonalna do czestosci (E=hv tutaj h to stala Plancka , ktora w tym czasie nie byla jeszcze tak nazwana). W efekcie dostal on stosunkowo proste wyrazenie na korekte do termicznej energii zawartej w oscylatorze o okreslonej czestosci, ktore to wyrazenie bylo funkcja bezwymiarowej wielkosci hv/(kT). Tak wlasnie powstala mechanika kwantowa (nazwana tak od porcji energii) -jako dzika spekulacja umyslowa zmierzajaca do dopasowania "teorii" do danych empirycznych.  Sama zas idea "porcjowania" energii posluzyla do wyjasnienia paru innych zjawisk (efekt fotoelektryczny, widmo dyskretne promieniowania atomowego, efekt Comptona itp), w ktorych kwantowosc energii byla znacznie wyrazniejsza niz w przypadku promieniowania termicznego. Planck byl odwaznym szczesciazem naukowym!

   Trzeba zreszta przyznac, ze mechanika kwantowa jaka z biegiem czasu rozwinela sie z tych skromnych poczatkow przyniosla ze soba niemal tyle samo wlasnych problemow teoretycznych jak te, ktore rozwiazala. Bylo ona wiec (i jest nadal) miesznym blogoslawienstwem dla naszego pojmowania swiata. Jedna z trudniejszych koncepcyjnie konsekwencji tej teorii byl problem granicy przejscia od opisu kwantowego do klasycznej mechaniki. W chwili obecnej teoria kwantow jest wysoce zmatematyzowana siegajac sytuacji gdy staje sie ona czescia formalnej matematyki stosowanej z calym bagazem postulatow i formalizmow (np  przestrzeni Hilberta). To jednak, ze caly fizyczny swiat wpakowano w matematyczny gorset nie oznacza, ze rozumiemy przez to lepiej rzeczywisty mechanizm zjawisk. Same metody formalne rzadko kiedy prowadza do interesujacych nowych rezultatow i lepszego zrozumienia zjawisk i procesow.Tymczasem wspolczesna fizyka kwantowa wydaje sie odrywac od rzeczywistosci swiata trojwymiarowego na korzysc coraz bardziej abstrakcyjnych wytworow matematyki przestrzeni wielowymiarowych.

   Jednym z bardziej destrukcyjnych twierdzen mechaniki kwantowej jest zasada nieoznaczonosci Heisenberga, ktora faktycznie wyznacza jedynie granice bledu pomiarowego pewnych sprzezonych wielkosci fizycznych. Jest ona jednak interpretowana szerzej, w aspekcie filozoficznym, jako twierdzenie o nieistnieniu jednej z tych wielkosci w sensie realnym. Na przyklad z faktu empirycznego stanowiacego slusznie, ze nie jest mozliwe jednoczesne zmierzenie polozenia i pedu czastki mikroskopowej z dowolna precyzja (ze wzgledu na nieusuwalne zaklocenie spowodowane metoda pomiarowa) wyciaga sie wniosek, ze poznaniu dostepna jest jedynie trajektoria tej czastki w przestrzeni konfiguracyjnej badz trajektoria pedow czastki w przestrzeni pedow. Konsekwencja tej zasady sa tak zwane alternatywne reprezentacje polozen badz pedow stanowiace baze  w nieskonczenie wymiarowej przestrzeni Hilberta w jakiej formulowana jest teoria kwantow. To eleganckie pod wzgledem matematycznym sformulowanie teorii kwantow, ktore zawdzieczamy zauroczeniu mlodego Paula Dirac'a potega analizy funkcjonalnej jest obecnie chlebem powszednim mlodych fizykow. Jednoczesnie zas powoduje, ze aparaty pojeciowe mechaniki klasycznej i kwantowej sa prezentowane jako absolutnie niepowiazane. Sa oczywiscie uparci staruszkowie (Prof.Prof. D. Bohm, M. Gryzinski ), ktorzy uwazaja, ze renowacja gmachu pojeciowego fizyki prowadzona obecnie jest wyrzucaniem dziecka z kapiela ale jest to poglad mniejszosciowy.
  
  Aby ubrac te ogolnikowe stwierdzenia w nieco bardziej przystepna forme rozwazmy ponownie klasyczny przyklad oscylatora harmonicznego w przestrzeni jednowymiarowej. Jest to problem prosty, w ktorym sila przywracajaca punkt materialny o masie m jest proporcjonalna do wychylenia od polozenia rownowagi mechanicznej. Problem oscylatora liniowego jest zdefiniowany przez wyrazenie jego calkowitej energii (tzw hamiltonianu) w postaci podanej na planszy.

 Przez m oznaczamy mase punktu wykonujacego oscylacje, p jest pedem (p=mx') a x odchyleniem od polozenia rownowagi mechanicznej. Mozemy sobie wyobrazic taki oscylator jako punkt materialny poruszajacy sie w polu parabolicznego potencjalu przyciagajacego. Jak wspomnialem uprzednio, mozemy traktowac hamiltonian H(x,x') jako definicje systemu i uzyc go do wyprowadzenia rownan ruchu przez rozniczkowanie wzgledem czasu (Hamiltonian zalezy od czasu w sposob uwiklany- przez funkcje x[t] i x'[t]) i wobec tego dH/dt =0. Z tej zaleznosci wynika, ze albo x'[t] =0 czyli punkt pozostaje w spoczynku w stanie rownowagi badz istnieje zaleznosc pomiedzy przyspieszeniem a polozeniem czastki taka, ze energia ukladu jest stala w trakcie ewolucji. Matematyczne szczegoly teorii oscylatora klasycznego sa przedstawione na planszy. Rownania ruchu daja nam scisle formuly dla polozen i predkosci w dowolnym momencie czasu. Obie te wielkosci zaleza parametrycznie od wartosci poczatkowych x[t=0], x'[t=0], na ktore mechanika klasyczna nie naklada zadnych ograniczen. Ruch oscylujacej czastki jest okresowy. Amplituda drgania okresla maksymalne odchylenie czastki od polozenia rownowagi mechanicznej. W tym  momencie predkosc czastki osiaga zero i cala energia jest skumulowana w postaci energii potencjalnej. Nastepnie kierunek predkosci zmienia sie na przeciwny i predkosc stopniowo rosnie osiagajac maksimum przy przejsciu przez punkt rownowagi mechaniczej. Mamy wiec do czynienia z typowa okresowa zmiana energii kinetycznej na potencjalna jaka wystepuje we wszystkich ruchach okresowych systemu zachowawczego (czyli o stalej energii calkowitej). Zauwazmy, ze masa punktu materialnego wchodzi do teorii wylacznie jako parametr. Nie ma zadnych ograniczen na jej wielkosc. Teoria powinna stosowac sie rownie dobrze do elektronu czy protonu jak do wahadla zegarowego czy innego obiektu makroskopowego. Co wiec sie zmieni gdy zdecydujemy sie na zastosowanie mechaniki kwantowej, jako teorii wyzszego rzedu, do tego samego problemu? I jak wyglada korespondencja pomiedzy tymi dwoma podejsciami gdy masa drgajacej czastki  bedzie stopniowo malec?
   Mimo swojej prostoty oscylator  liniowy ma olbrzymie znaczenie w wielu znacznie bardziej skomplikowanych problemach fizyki. Dlatego tez jest on jednym z glownych przykladow zastosowania teorii kwantow jakie sa podawane w podrecznikach akademickich. Wiekszosc z nich zajmuje sie raczej metodami rozwiazywania zagadnienia niz kwestia tego jak wyglada relacja opisu kwantowego w stosunku do tego co daje nam mechanika klasyczna. Szczesliwym wyjatkiem jest podrecznik p.t. "Teoria kwantow" autorstwa Prof.Prof. I . Bialynicki-Birula, M. Cieplak i J. Kaminski , PWN 1991. W ustepie zatytulowanym "Porownanie z oscylatorem klasycznym" (str 223) autorzy pisza:

 "Oscylator  kwantowy zachowuje sie inaczej niz oscylator klasyczny. Po pierwsze dozwolone energie oscylatora kwantowego tworza zbior dyskretny. Po drugie, w stanie podstawowym energia oscylatora kwantowego jest rozna od zera i wynosi hv/2. W stanie tym uklad wykonuje tzw drgania zerowe. Po trzecie, rozklad prawdopodobienstwa znalezienia czastki w punkcie x ma ksztalt calkowicie odmienny od usrednionego po czasie rozkladu dla oscylatora klasycznego. W szczegolnosci prawdopodobienstwo znalezienia czastki na zewnatrz punktow zwrotnych ruchu jest rozne od zera."

    Moim zdaniem dyskretyzacje dopuszczalnych energii oscylatora mozna wyjasnic alternatywnie (do podejscia opartego na analizie rozwiazan rownania Schroedingera) zakladajac, ze dla stanow zwiazanych istnieje relacja pomiedzy dopuszczalnymi wartosciami poczatkowymi pedow i polozen wyrazajaca sie twierdzeniem  mowiacym, ze skalarny moment  pedu czastki zwiazanej jest wielokrotnoscia stalej Plancka
 [ mx'x= nh/(2Pi)] oraz, ze dopuszczalne wartosci dla poczatkowego polozenia i pedu (lub predkosci)  mozemy wyznaczyc z warunku na minimum energii ukladu. Inaczej mowiac z calego zbioru dopuszczalnych klasycznie par [x,x']  polozenia i predkosci tylko pewne pary odpowiadaja stanom stacjonarnej energii dozwolonej przez teorie kwantow dla oscylatora. Jak takie obliczenie wyglada w przypadku oscylatora pokazuje na planszy.

 W wyniku dostajemy specyficzna postac rozwiazania klasycznego rownania ruchu (6   ), ktora po wprowadzeniu do wyrazenia na hamiltonian oscylatora daje nam istotnie oczekiwane, dyskretne wartosci energii E =nhv (n=0, 1, 2 ,3...). Nasz kwantowy oscylator ma wiec pelne rozwiazania dla polozenia i predkosci czastki drgajacej, tak jak to bylo w przypadku klasycznym. Jedyna roznica jest specyficzna postac amplitudy drgan i fazy (ktora jest stala i wynosi Pi/4). W opisanym wyzej podejsciu nie pojawia sie "energia zerowa" , ktora zreszta jest trudna do interpretacji. Jej istnienie oznacza bowiem to, ze czastka zwiazana nie spoczywa nigdy, co przeczy pierwszej zasadzie dynamiki, oraz ze posiada ona staly dodatek do masy spoczynkowej m w postaci dm= hv/(2 c^2) (c jest predkoscia swiatla). Nie istnieje tez mozliwosc tego aby czastka przekroczyla zasieg dopuszczalnej amplitudy (wyszla poza punkt zwrotny) co jest zjawiskiem trudnym do wyjasnienia gdyz

oznacza naruszenie zasady zachowania energii. Nie jest dla mnie natomiast jasne dlaczego to wlasnie stanom stacjonarnym energii oscylatora odpowiada specyficzne ograniczenie na skalarny moment pedu wspomniane wyzej. Moment pedu (a raczej jego rzut na kierunek wektora wodzacego czastki czy jej os obrotu) jest wogole zreszta wielkoscia zagadkowa, grajaca dotad nie wyjasniona role w mechanice mikro-swiata.
   Taka sama metoda moze byc zastosowana rowniez do innych, popularnych przykladow takich jak jama potencjalu, atom wodoru czy system planetarny. Jesli zauwaze jakies zainteresowanie poruszonym tu tematem to te przyklady omowie w drugiej czesci wpisu. Oczywiscie samo znajdowanie stanow stacjonarnych energii (czy dopuszczalnych wartosci wlasnych energii  czastki) to tylko czesc problemu, ktorym zajmuje sie mechanika falowa. Zupelnie inna sprawa jest zachowanie kwazi-optyczne materii a wiec takie problemy jak

dyfrakcja "fal materii" i znaczenie fizyczne relacji de Broglie'a.