Tuesday, July 2, 2013

Jak jest na gorze tak jest na dole

   W poprzednich wpisach (http://bobolowisko.blogspot.com/2013/06/ruch-w-przestrzeni-ograniczonej.html ,http://bobolowisko.blogspot.com/2013/06/jeszcze-troche-o-mechanice-kwantowej.html , http://bobolowisko.blogspot.com/2013/05/kolorowy-plaszcz-jozefa-i-nedza-nauki.html , dalem czesciowy wyraz mojemu zgorszeniu stanem obecnej fizyki a zwlaszcza jej czesci zwanej mechanika kwantowa czy falowa. Moim zdaniem jest to teoria nadmiernie zmatematyzowana a przez to trapiona przez niewytlumaczalne pardoksy oraz nie spelniajaca podstawowej roli  nauki przyrodniczej: a mianowicie wyjasnienia dlaczego obserwujemy pewne zjawiska i jaki jest ich mechanizm. Odpowiedz na to pytanie jest bowiem racja bytu fizyki teoretycznej. O tym jak jest w rzeczywistosci  informuje nas fizyka doswiadczalna- kopalnia zaobserwowanych faktow, ktorych objasnienia i systematyzacji  powinna jednak nam dostarczac jej wielka siostra..

   Jak pokazalem uprzednio (i pokaze jeszcze) zjawiska kwantowe pojawiaja sie wtedy gdy mamy do czynienia z ukladami zwiazanymi. Jest to kwestia osobna, bardzo wazna i dotad niesprecyzowana pod wzgledem teoretycznym. Nie mamy bowiem jasnej definicji tego jakie to uklady wlasciwie naleza do klasy ukladow zwiazanych. W tej chwili prowizorycznie zakladam, ze ukladem zwiazanym jest kazdy system dynamiczny przejawiajacy okresowosc. Taki jak na przyklad oscylator harmoniczny czy rotator.  Nawet jednak i przy tym, dosc szerokim, pojmowaniu stanu zwiazanego mamy do czynienia z co najmniej dwiema odmianami zachowania periodycznego. W jednym przypadku, takim jak przypadek oscylatora harmonicznego, mamy do czynienia z przebiegiem periodycznym ale nie stacjonarnym. Czastka bowiem ma zmienna energie kinetyczna i potencjalna tyle, ze zmiany nastepuja w sposob zsynchronizowany tak, ze energia calkowita pozostaje stala. W  innym zas przypadku , takim jak jama potencjalu, mamy do czynienia z przebiegiem istotnie stacjonarnym. Energia kinetyczna jest stala i stala jest takze energia potencjalna czastki.  W wiekszosci znanych mi przykladow uklad zwiazany charaktryzuje sie tym, ze jego calkowita energia kinetyczna jest mniejsza od energii potencjalnej wzajemnego przyciagania pomiedzy skladnikami systemu. Czy jednak jest to definicja calkowicie poprawna w przypadku ukladow posiadajacych wiele stopni swobody -tego nie wiem. 
    Jesli systemem dynamicznym zwiazanym jest nasz wszechswiat to oczywiscie wszystkie sytuacje i stany przez ktore juz przeszedl powtorza sie w przyszlosci (zapewne bardzo odleglej) czyli nastepuje hinduiczna samsara (czyli kolo zycia znane takze pod nazwa cyklu Poincare'go). Jesli nie, to ewolucja jest nieodwracalna i wszystko zakonczy sie  Sadem Ostatecznym.
      Zanim jednak zajmiemy sie zagadnieniami w skali kosmicznej skoncentrujmy sie przez chwile na jeszcze jednym przykladzie do znudzenia przerabianym w kursach chemii i  fizyki. Mysle tu o planetarnym modelu atomu zaproponowanym przez Nielsa Bohra we wczesnym okresie rozwoju teorii kwantow.  Jak moi czytelnicy byc moze pamietaja, zaproponowalem uprzednio nieco inny od stosowanego powszechnie algorytm sluzacy do wyznaczania ruchu i poziomow energetycznych ukladow zwiazanych.  Moim zdaniem dla opisania tego rodzaju ukladow wystarcza calkowicie formalizm mechaniki klasycznej uzupelniony dwoma wymaganiami. Po pierwsze obecnosc stanow zwiazanych oznacza restrykcje polozona na dozwolone wartosci momentu pedu. Ta restrykcja zawiera stala Plancka i powoduje to, ze z pelnego zbioru dowolnych wartosci poczatkowych polozenia i pedu (czastki lub czastek) musimy wybrac tylko pewien ich podzbior. Takie postepowanie gwarantuje nam kwantyzacje energii ukladu. Po drugie, stany zwiazane i stacjonarne systemu odpowiadaja koleinie energii wyznaczonej z warunku na minimum calkowitej energii systemu. Ta propozycja  zapewnia nam stabilnosc ruchu okresowego. Aby system wytracic ze stanu stacjonarnego trzeba wykonac pewna prace. To, ze moment pedu powinien miec wartosc stala dla stanow zwiazanych jest uzasadnione. Nie znamy natomiast przyczyny tego dlaczego jego wartosc musi byc wielokrotnoscia stalej Plancka.  Dlatego musimy w tej chwili to zalozenie przyjac jako nie wyjasniony fakt doswiadczalny.

  Dla ustalenia uwagi rozwazmy hamiltonian ukladu dwoch czastek przeciwnie naladowanych. Przyjmijmy, ze jedna z nich, proton, jest znacznie (1836 razy) ciezsza niz druga, ktora jest elektron. Nie jest to ograniczenie zasadnicze bowiem stany zwiazane czastek oddzialywujacych potencjalem kulombowskim istnieja takze dla czastek o masie identycznej (np pozytronium- uklad zwiazany elektronu i pozytronu) ale takie podejscie pozwala nam na unikniecie wprowadzenia masy zredukowanej. Po prostu czastka lzejsza obraca sie wokol ciezszej w podobny sposob w jaki planety naszego Ukladu Slonecznego poruszaja sie wokol Slonca.
    Hamiltonian (czyli energia calkowita) elektronu poruszajacego sie w polu protonu moze byc przedstawiona jako suma energii kinetycznej elektronu oraz jego energii potencjalnej w polu nieruchomego protonu ( inaczej mowiac w ukladzie odniesienia, w centrum ktorego lezy proton). Tutaj p = mv oznacza ped  elektronu , q jest absolutna wartoscia ladunku (elektronu lub protonu) a r jest promieniem wiodacym od protonu do elektronu. Jest to opis uproszczony ale zgodny z modelem atomu proponowanym przez Nielsa Bohra i ogolnie uzywanym we wspolczesnej kwantowej teorii atomow wodoropodobnych. Jesli teraz zastosujemy propozycje kwantowania momentu pedu elektronu  w postaci

          r p= nh/(2Pi)                    n=1, 2, 3,....

to, pamietajac ze taki warunek stosuje sie tylko do stanow zwiaznych, otrzymujemy hamiltonian zalezacy wylacznie od promienia orbity elektronu"

    H = n^2 h^2/(2 Pi)^2 /(2m r^2) - q^2/(4 Pi g r)

    Przez g oznaczam tu stala dielektryczna prozni a wszystkie wielkosci powinny byc wyrazone w jednostkach SI (czyli MKSA). Nastepnie szukamy minimum energii calkowitej jako funkcji odleglosci pomiedzy elektronem i protonem:

    dH/dr = -n^2 h^2/(2 Pi )^2 1/r^3 + q^2(4 Pi g r^2) = 0

Dla r  roznego od zera (spadanie na czy przechodzenie przez  jadro wykluczamy ze wzgledu na  nie uwzglednione tu oddzialywania slabe, ktore uniemozliwiaja synteze neutronu) dostajemy nastepujace wyrazenie dla promienia n-tej orbity elektronu

    r(n)=  h^2 g/( Pi q^2 m) n^2 = 5.2918 x 10^(-11)  n^2  metrow

a dla predkosci obwodowej elektronu na n-tej orbicie (kolowej)

  v(n) = q^2/ (2g nh) = 2187.7 1/n  km/sec

   Im dalej od centrum tym mniejsza (jak 1/n) jest orbitalna predkosc elektronu. Nie mniej, na kazdej orbicie kolowej predkosc elektronu jest stala . To odroznia orbity kolowe od eliptycznych, ktorych tu omawiac nie bede, ale na ktorych predkosc czastki orbitujacej zmienia sie wzdluz trajektorii. Takie eliptyczne trajektorie sa w swojej dynamice podobne do dynamiki oscylatora harmonicznego. Oznaczaja one, ze dipol utworzony przez elektron i proton oscyluje a przez to takze traci energie na wypromieniowanie fali elektromagnetycznej.  Tym samym orbity eliptyczne elektronu sa niestabilne i wobec  tego nie opisuja stanu stacjonarnego systemu. Warto pamietac, ze obiekt poruszajace sie po orbitach eliptycznych stanowia cos w rodzaju "diabelskiego kola" znanego z wesolych miasteczek. Polowa trajektorii pokonywana jest bowiem podczas ruchu opoznionego a druga polowa - ruchem przyspieszonym.

    W przypadku orbit kolowych mamy do czynienia z ruchem jednostajnym po okregu polozonym na powierzchni ekwipotencjalnej. Poziom podstawowy (dla n=1) jest bardzo stabilny nie tylko dlatego, ze przypomina energetyczny tor bobslejowy (z bandami) ale i dlatego, ze jest on najnizszym pod wzgledem energii stanem jaki elektron moze posiadac. Czesto w ksiazkach znajduje tlumaczenie nieprawidlowosci teorii Bohra uzywajace jako argumentu tego, ze ruch po okregu, nawet jednostajny ma przyspieszenie dosrodkowe i wobec tego elektron powinien emitowac promieniowanie elektromagnetyczne i spasc na jadro. Wraz z tym wyjasnieniem wprowadzana jest idiotyczna teza o ciaglym rozkladzie masy elektronu wzdluz trajektorii orbity.  Zadna z tych propozycji nie jest prawdziwa. Aby wypromieniowac fale elektromagnetyczna elektron musialby bowiem wydzielic z wlasnego zasobu energii (potencjalnej i kinetycznej) pewna porcje energii (odpowiadajaca energii kwantu promieniowania). W tym celu musialby zas osunac sie na nizszy poziom energetyczny.Takiego jednak nie ma ponizej orbity stanu podstawowego. Tak wiec stan podstawowy jest trwaly i stabilny co nie oznacza tego, ze elektron otacza  proton czyms w rodzaju chmury czy fali materialnej.
   Inna sprawa jest ruch po orbitach eliptycznych, ktore jednak nie odpowiadaja warunkowi minimum energii oraz na ktorych elektron porusza sie ruchem niejednostajnym podrozujac pomiedzy dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi.

   Nasz uklad ma skwantowana orbitalna energie kinetyczna  wynoszaca

    E(kin)= p^2/(2m) = 1/8 m q^4/ (h^2 g) 1/n^2

oraz potencjalna

    E(pot)= -2 E(kin)

Im wyzsza orbita tym mniejsza jest zrowno energia kinetyczna ruchu orbitalnego jak i energia potencjalna przyciagania przez jadro (jak 1/n^2).  Energia calkowita wynosi zatem

   H= E(kin) +E(pot) = - E(kin)

i jest ujemna tak jak to powinno byc w stanie zwiazanym. Aby usunac elektron z atomu wodoru w stanie zwiaznym musimy dostarczyc mu energii co najmniej rownej E(kin).  Jest to tak zwana praca wyjscia elektronu.
 Mozemy oczywiscie obliczyc takze dlugosc fali de Broglie'a dla kazdej orbity wynoszaca

   L(n)=  h/p(n) = 2 h^2 g n/(mq^2) = 2 Pi r(n)/n

   Oznacza to, ze na kazdej stacjonarnej orbicie moze znalezc sie tylko skonczona i calkowita dlugosc fali de Broglie'a chociaz czym jest faktycznie ta fala tego nie wiemy. Na pewno nie jest to bowiem "rozmazana" po okregu orbity masa elektronu.

   Zauwazmy wreszcie, ze ladunek punktowy elektronu poruszajacy sie po okregu  o promieniu r(n) (dla n-tej orbity) stanowi prad staly plynacy przez przewodnik kolowy. Taki prad jest zrodlem stalego pola magnetycznego. Wszystko co potrzebujemy to znalezc natezenie takiego pradu. To zas mozna zrobic dosyc prosto. Pelny obwod okregu l(n)= 2 Pi r(n) ladunek q pokonuje w czasie  2Pi r(n)/v(n). Stad
i(n)= q v(n)/(2 Pi r(n)). Taki prad tworzy indukcje magnetyczna B =u H = u /(4 Pi) q v(n)/r(n)^2 = u/(2 Pi) d(mag) /r(n)^3 gdzie d(mag) = q V(n) r(n) /2 jest magnetycznym  momentem dipolowym . Zatem

   d(mag) = [q h/(4Pi m)] n

    Wyrazenie w nawiasie kwadratowym nosi nazwe magnetonu Bohra i wynosi 9.274078x 10 ^(-24) J/T
(T = N/A/m).  Jak mozna bylo oczekiwac wielkosc momentu dipolowego rosnie liniowo z numerem orbity- im wiekszy promien orbity tym wiekszy jest moment dipolowy. Prad plynacy po orbicie (w stanie podstawowym) nie jest jednak jedynym skladnikiem momentu dipolowego atomu wodoru.  Mamy takze wklad pochodzacy z wewnetrznego momentu dipolowego obracajacego sie wokol wlasnej osi elektronu (spin) wynoszacy - 9.284764 x 10^(-24) J/T  oraz moment dipolowy protonu (spin protonu) wynoszacy znacznie mniej bo tylko14.106067 x 10^(-27) J/T.  Jak sie wydaje spin elektronu praktycznie kasuje moment dipolowy orbitalny tak wiec pozostaje nam efekt magnetyczny pochodzacy ze spinu protonu. Nie udalo mi sie jednak sprawdzic tej przepowiedni bo jak dotad nie znalazlem wynikow doswiadczalnych pomiaru momentu dipolowego atomowego wodoru. Swego czasu poswiecilem sporo miejsca problemowi pochodzenia masy elektronu oraz spinu (http://bobolowisko.blogspot.com/2009/11/there-was-young-lady-named-bright.html ) i tam tez odsylam czytelnkow zainteresowanych tym dosc skomplikowanym zagadnieniem.

  Przyjrzyjmy sie teraz problemowi podobnemu pod wzgledem typu potencjalu przyciagajacego oraz zachowania lekkich elementow zwiazanych poruszajacych sie w polu ciezkiego centrum. Mam na mysli nasz Uklad Sloneczny. To jakie stany zwiazany zaobserwujemy jest zdeterminowane polem grawitacyjnym Slonca, ktory jest obiektem posiadajacym najwieksza mase. W pierwszym przyblizeniu mozna pominac zaburzenia spowodowane wzajemnym oddzialywaniem planet. Jesli wiec mamy planete o masie m poruszajaca sie w polu grawitacyjnym Slonca o masie M to hamiltonian takiego ukladu mozemy zapisac w postaci:

    H= p^2/(2m) - G mM/r

gdzie G jest stala grawitacji (G= 6.6720x10^(-11) Nm^2/kg^2) . Jest to wyrazenie przyblizone gdzyz nie bierzemy tu pod uwage skonczonych geometrycznych rozmiarow obiektow astronomicznych traktujac je jak punkty materialne. Stosowne poprawki mozna wniesc ale ja tu tego nie zrobie. Tak jak poprzednio, w przypadku stanow zwiazanych czastek naladowanych, zakladamy, ze wartosci poczatkowe pedu i polozenia sa wzajemnie zalezne relacja wynikajaca z skwantowania momentu pedu :

   r p= nh/(2Pi)

a wiec energia calkowita stanu zwiazanego planety i Slonca wynosi :

   H =[ nh/(2 Pi r)]^2 -  GMm/r

Dalej obliczenia wykonujemy identycznie jak w przypadku oddzialywan kulombowskich. Z warunku na minimum energii otrzymujemy dozwolone promienie orbit stacjonarnych (kolowych) oraz pedy planet

   r(n)= n^2 h^2 /{ (2 Pi )^2 Gm^2 M}  n=1, 2, 3....

   p(n)= Gm^2 M 2 Pi/ (nh)

Zauwazmy, ze promien orbity stanu podstawowego (promien Bohra ukladu Slonecznego) jest niezwykle maly w porownaniu z tym jaki mielismy w przypadku czastek naladowanych. Wynosi on

  r(1)= 2.33 x 10 ^(-138)  m

co oznacza, ze orbita stanu podstawowego znajduje sie wewnatrz rdzenia Slonca (ktory jest ukladem gazowym). To zas oznacza, ze model mas punktowych powinien byc zmodyfikowany tak by uwzglednic rozklad przestrzenny masy w Sloncu i planecie. Tym sie jednak tu nie bedziemy zajmowac gdyz odleglosci planet od Slonca i tak mowia nam, ze planety okupuja orbity stanow wzbudzonych o bardzo duzych liczbach kwantowych.  Energia planet na orbicie kolowej (czyli wszystkich planet z wyjatkiem Merkurego i Plutona) jest skwantowana i wynosi

   H(n)= -0.5 [2 Pi G M /(nh)]^2 m^3

Mozemy takze wprowadzic pojecie fali materii de Broglia dla obiektow atronomicznych w postaci planet.
Ze znanej relacji

   L(n)= h/p(n) 

otrzymujemy

   L(n) =  n  h^2/[2 Pi MG] 1/m^2 = n L(1)

Dla Ziemi wynosi ona L(n=2.53x1)^74)= 3.72 x 10^(-60) m  czyli jest znacznie mniejsza od promienia kuli ziemskiej.  Nie jest jasne jakie fizyczne znaczenie ma ta wielkosc ale oczywiscie na orbicie ziemskiej miesci sie skonczona i calkowita liczba tych fal.

   To ze Ziemia i inne planety znajduja sie na orbitach stanow wzbudzonych oznacza, ze istnieje mozliwosc  kwantowego skoku do stanu podstawowego lezacego wewnatrz Slonca. Taki skok wymagalby emisji jednego lub kaskady grawitonow i praktycznie zakonczylby trwanie biosfery ziemskiej tworzac cos w rodzaju ostatecznego stadium Sadu Ostatecznego.  Jesli starczy mi czasu to zajme sie jeszcze w przyszlosci pytaniem o rownania pola grawitacyjnego oraz o to jak ono moze byc skwantowane.
    Problem kwantyzacji pola grawitacyjnego jest na ogol rozwazany z punktu widzenia ogolnej teorii wzglednosci, ktora tlumaczy oddzialywanie grawitacyjne poprzez modyfikacje metryki przestrzeni. Nie negujac faktu, ze kazde oddzialywanie, nie tylko oddzialywanie grawitacyjne, moze byc traktowane w ten sposob (t.j. przez wprowadzanie przestrzeni nieeuklidesoweych) uwazam to podejscie za niepotrzebnie skomplikowane matematycznie. Wiekszosc obiektow astronomicznych porusza sie z predkosciami nie-relatywistycznymi i nadmierny aparat matematyczny nie jest uzasadniony przy ich opisie. Ponadto, zanim skomplikujemy problem, nalezaloby wpierw opisac go przy pomocy teorii newtonowskiej byc moze stosownie rozszerzonej. Takie rozszerzone teorie grawitacji sa obecnie dostepne.





  

No comments: