Ile czasu do katastrofy czyli problem Hansa Klosa

Pare dni temu Szanowny Kolega Bloger Hans Klos napisal maly essej, w ktorym postawil hipoteze mowiaca, ze im dluzej czekamy na pewne zdarzenie (np katastrofe) tym bardziej jest prawdopodobne, ze ona sie wydarzy (patrz http://hansklos.blogspot.com/2010/06/ekonomia-katastrof-czyli-generowanie.html). Podany byl przyklad z rzutem kostka do gry, w ktorym role katastrofy pelnilo wyrzucenie szesciu oczek. Wedlug Szanownego Oberlejtnanta im dluzszy jest ciag wyrzucen innej liczby oczek( niz 6) w kazdym z kolejnych niezaleznych prob tym bardziej staje sie prawdopodobne, ze w koncu wyrzucimy 6 czyli, ze nastapi wygaszenie ciagu "spokoju" katastrofa. Problem polegal na tym czy jest tak istotnie to zas znaczylo, ze chcemy poznac prawdopodobienstwo rozkladu czasu, po ktorym nastapi zdarzenie katastrofalne. Oznaczmy przez P[t] prawdopodobienstwo, ze do chwili  t  katastrofa nie nastapila. Przyjmijmy tez, ze prawdopodobienstwo elementarne wydarzenie sie katastrofy w czasie dt jest propocjonalne do dlugosci tego czasu czyli w[dt]= kdt.  Prawdopodobienstwo, ze katastrofy nie bedzie w okresie czasu t+dt oznaczymy przez P[t+dt]. Prawdopodobienstwo to jest iloczynem nie-wydarzenia sie katastrofy w okresie czasu t przez prawdopodobienstwo elementarne nie-wydarzenia sie katastrofy w czasie dt. To ostatnie wynosi 1-kdt bo w czasie dt katastrofa albo wystapi z prawdopodobienstwem elementarnym kdt albo nie wystapi z prawdopodobienstwem 1-kdt. Mamy wiec rownanie stochastyczne o postaci
P[t+dt]= P[t]{1-kdt}
ktore dla dt->0 zamienia sie w rownanie rozniczkowe

dlnP[t]/dt = -k

Rozwiazaniem tego rownania jest funkcja  P[t]= k exp[-kt] unormowana do jednosci przy calkowaniu po czasie t w granicach od zera do nieskonczonosci . Stala k jest odwrotnoscia sredniego czasu do katastrofy.
Jak widzimy HK ma racje. Im dluzej jest spokojnie  tym mniejsze jest prawdopodobienstwo, ze ten spokoj jeszcze potrwa.  Pamietajmy, ze w tym sformulowaniu czas t  (czas spokoju albo wyrzucania jakichkolwiek oczek z wyjatkiem 6) jest wielkoscia losowa.


UZUPELNIENIE                                                                                                                    

W wyniku dyskusji wydaje mi sie rozsadnym aby powtorzyc argumentacje dla procesu dyskretnego. Zakladamy wiec ze mamy do czynienia z procesem binarnym, dla ktorego w kazdym losowaniu moze wystapic zdarzenie katastrofalne z prawdopodobienstwem elementarnym w oraz zdarzenie dopelniajace z prawdopodobienstwem 1-w. W przykladzie HK  katastrofa jest wyrzucenie szostki czyli w=1/6 a zdarzeniem dopelniajacym jest wyrzucenie jakiegokolwiek innego wyniku (czyli 1, 2, 3, 4, lub 5) z prawdopodobienstwem elementarnym 5/6.  Pytamy o prawdopodobienstwo p[n] wyrzucenia w n losowaniach wylacznie zdarzen nie-katastrofalnych. Mozemy napisac dyskretna wersje rownania stochastycznego w postaci :
p[n+1] = p[n]{1-w}.
Jest to stwierdzenie mowiace, ze prawdopodobienstwo wystapienia ciagu n+1 rzutow nie-katastrofalnych jest iloczynem prawdopodobienstwa nie-wyrzucenia zdarzenia katastrofalnego w ciagu n losowan oraz nie wystapienia takiego zdarzenia rowniez i w ostatnim rzucie.
Rozwiazaniem rownania jest ciag
p[n] =w [1-w]^n
Latwo sprawdzic, ze rozklad jest unormowany dla dyskretnej zmiennej losowej n  zawartej pomiedzy zerem i nieskonczonoscia. Srednia dlugosc lancucha wynosi
= (1-w)/w
czyli dla problemu rzutu koscia  =5.
 Obliczenie dyspersji pozostawiam jako cwiczenie.