Stany zwiazane fotonow i grawitony

 W poprzedzajacych wpisach naszkicowalem "klasyczna" teorie fotonow czyli kwantow pola elektromagnetycznego. Traktuje te fotony jako obiekty materialne zajmujace pewna obietosc i posiadajace polozenie (srodka masy) oraz predkosc. Oczekuje, ze fotony maja faktycznie symetrie osiowa ze wzgledu na posiadany spin (czyli dipolowy moment magnetyczny) ale chwilowo ten aspekt zagadnienia nie bedzie poruszany. Masa pojedynczego fotonu wynosi

               M = h s / c^2                                                    (1)

i jest wylacznie jego masa relatywistyczna wynikajaca z postulowanego zwiazku pomiedzy energia i masa.  Dla przykladu , masa relatywistyczna pojedynczego fotonu z zakresu widma widzialnego posiadajacego energie 5 eV wynosi 8.9 x 10^-40 kg a masa relatywistyczna fotonu gamma o energii 0.5 MeV wynosi 8.9 x 10^-35 kg.

    Ped fotonu poruszajacego sie z predkoscia v wynosi

              P = M v                                                            (2)

Jesli, jak to jest obecnie powszechnie (i mylnie moim zdaniem) uwazane, predkosc fotonu jest zawsze rowna predkosci swiatla c w dowolnym ukladzie odniesienia,  to odzyskujemy znany wzor na wielkosc pedu


             P = h s /c                                                             (3)

ale jest to, moim zdaniem, przypadek specjalny. Foton poruszajacy sie z predkoscia v  (wzgledem laboratoryjnego ukladu odniesienia) posiada energie kinetyczna ruchu postepowego wynoszaca

            E = 0.5  M  v^2 = 1/2 h s (v/c)^2                        (4)

Energia calkowita pojedynczego fotonu w ukladzie laboratoryjnym jest suma jego energii zerowej (czyli energii pola elektromagnetycznego niesionego przez foton) oraz energii kinetycznej ruchu postepowego

            E =  1/2 h s [1 + v^2/ c^2]                                  (5)

Jesli fotonow w ukladzie jest wiecej to istnieje pomiedzy nimi oddzialywanie. Dla uproszczenia przyjmuje tutaj, ze wszystkie fotony sa jednakowe (czyli majace taki sam  kolor  albo  inaczej czestotliwosc podstawowa s). Wskaznik s pelni tu role indeksu komponentow fotonowych. Ze wzgledu na to, ze fotony sa obiektami posiadajacymi mase (relatywistyczna ) to wzajemne oddzialywanie tych mas mozemy opisac potencjalem sil grawitacyjnych

          U(r) = -G M^2 / r = - G [h s/c^2]^2  1/r              (6)

gdzie r jest wzgledna odlegloscia pomiedzy fotonami znajdujacymi sie w polozeniach r(i) i r(j)
(czyli r = |r(i)- r(j)| ) a G jest stala grawitacyjna.

   Jesli mamy mieszanine fotonow o roznych czestosciach s(i) , gdzie i to indeks i-tego typu  fotonu , to powyzszy wzor wyglada nastepujaco:

          U(| r(i) -r(j)| ) = -G 1/|r(i)- r(j)|  M(i) M(j)           (7)

Uklad zlozony z N identycznych fotonow w okreslonej objetosci ma wiec energie calkowita (Hamiltonian) wyrazony klasycznym wzorem jako suma energii kinetycznych i potencjalnych fotonow

   Rozwazmy teraz uklad zlozony z dwoch fotonow. Jego energia calkowita wyraza sie przez hamiltonian :

     H = 1/2 M [ v(i)^2 + v(j)^2]  + U[|r(i) - r(j)|]         (8)

gdzie M jest masa fotonu o czestotliwosci s  (wzor 1) a energia potencjalna oddzialywania dwoch mas relatywistycznych jest dana wzorem (6).
Jak to zazwyczaj czynimy w przypadku wyznaczania orbit stacjonarnych dwoch obiektow materialnych wprowadzamy wzgledna odleglosc miedzy fotonami :

       r= r(i) - r(j)                   (9)

oraz wektor polozenia srodka masy, ktory dla identycznych oddzialywujacych mas wyraza sie wzorem

     R = 1/2 [ r(i) + r(j) ]       (10)

W nowych zmiennych hamiltonian pozwala nam na rozdzielenie ruchu obu obiektow na ruch srodka masy (czyli calosci obu obiektow) , ktory jest ruchem prostoliniowym i jednostajnym z predkoscia srodka masy wynoszaca

    V = 1/2 [  v(i) + v(j)]       (11)

oraz ruch obrotowy masy zredukowanej

    m= M /2                          (12)
 Powyzsze relacje mozemy, rzecz jasna, odwrocic i wyrazic wspolrzedne i predkosci fotonow przez  polozenie srodka masy oraz wektor odleglosci wzglednej

     r(i) = R + 1/2 r

     r(j) =  R - 1/2 r

i podobnie dla predkosci fotonow.  Para fotonow znajduje sie wiec na plaszczyznie prostopadlej do trajektorii srodka masy i poruszajacej sie z predkoscia srodka masy. Okrag na ktorym lezy orbita ma promien r/2  a fotony leza na krancach srednicy orbity i obracaja sie w sposob jednostajny z predkoscia obwodowa v.

Hamiltonian ruchu wzglednego (czyli ruchu obrotowego masy zredukowanej w plaszczyznie prostopoadlej do trajektorii ruchu centrum masy) wyraza sie wzorem

     H (obrotu) = 1/2 m v^2 - 4G m^2  1/r      (13)

gdzie  v jest predkoscia masy zredukowanej na orbicie o promieniu r czyli v= dr/dt.
Potencjal oddzialywania grawitacyjnego jest potencjalem sferycznie symetrycznym i jako taki posiada stacjonarne orbity kolowe. Sytuacja jest bardzo podobna do tej jaka rozwazalem swego czasu dla potencjalu Coulombowskiego (https://bobolowisko.blogspot.com/2013/07/jak-jest-na-gorze-tak-jest-na-dole.html ) Ruch w w takim potencjale dopuszcza takze trajektorie eliptyczne  oraz inne ale sa to trajektorie nie odpowiadajace ruchowi stacjonarnemu (predkosc ruchu na nich nie jest stala). Dla trajektorii kolowej moment pedu orbitalcnego jest stala ruchu  i wobec tego predkosc i polozenie obiektu sa wzajemnie powiazane zaleznoscia:

     L = m r v         (14)

To pozwala mi na wyeliminowanie jednej z wielkosci r lub v z hamiltonianu obrotu (13).
    Jezeli wyeliminujemy predkosc orbitalna v to hamiltonian ruchu obrotowego ma postac:

     H(obrotu) = 1/2 m [ L/ (mr)]^2 - 4G m^2 1/r     (13a)

Nastepnie szukamy takiego promienia orbity dla ktorego energia ruchu obrotowego ma wartosc minimalna.  Promien ten wyznaczamy z warunku na znikanie pochodnej H(obrotu) wzgledem promienia

   
    dH(obrotu)/dr = - L^2/m 1/r^3 + 4Gm^2 1/r^2 = 0  (14)

Stad otrzymujemy nastepujaca formule dla stacjonarnego promienia orbity (przy zadanym momencie pedu obrotowego):

     r = L^2 / [4G m^3]                   (15)

a predkosc orbitalna na tej orbicie wynosi

    v = [ L/m] 1/r    =  4G m^2 /L                            (16)



     Jak dotad wszystkie obliczenia wykonano zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej a wartosc momentu pedu ruchu obrotowego jest dowolna . Efekt dyskretnego rozkladu energii pojawi sie dopiero wtedy gdy zapostulujemy dyskretyzacje wartosci momentu pedu orbitalnego. Dlaczego moment pedu jest wielokrotnowscia pewnej stalej jednostki (stalej Plancka) tego nie wiemy pomimo stuletniego czasu istnienia teorii kwantow.

   Jezeli wymagamy aby moment pedu orbitalnego byl calkowita krotnoscia stalej Plancka h/(2 Pi)  czyli zeby 

     L= n (h/(2 Pi)    (17)

gdzie n= 1, 2,3,.... to orbity stacjonarne staja sie dyskretne i takie tez sa predkosci orbitalne.
Mamy wiec dla n-tej orbity:

    r(n) = n^2 (h/(2 Pi)^2   1/ [ 4 G m^3]  =  n^2  {  c^6 / [ 2 Pi^2  G h s^3]} =   
                                                                                                        
                     = 8.32 x10^92 n^2 / s^3   (metra)       (18)
                                         
gdzie n= 1,2,3,... and s is the frequency in Hz.

    v(n) = 4Gm^2 / [ n h/(2 Pi)]    =  2 Pi G h s^2/ ( n c^4 ) =   3.44x 10^-77 s^2 /n       (19)

    Im dalsza (od srodka masy dimeru) jest orbita tym wolniejszy jest tez ruch na niej.

Jak latwo sprawdzic druga pochodna hamiltonianu orbitalnego wzgledem r jest dodatnia dla r(n) i v(n) okreslonych wzorami wyzej co mowi nam, ze orbity te sa trwale wzgledm malych zaburzen.

Nasz dwu-fotonowy dimer ma dyskretna energie kinetyczna ruchu obrotowego

   E(n, kin) = 1/2 m v^2 = 8 G^2 m^5 /[n h/(2 Pi)] ^2      (20)

oraz dyskretna energie potencjalna wiazanie grawitacyjnego

   E(n, pot) = - 16 G^2 m^5 /[ n h/(2 Pi)]^2       (21)

Tak wiec energia calkowita ruchu na stacjonarnej, kolowej trajektorii  wynosi
 
    E(n) = - 8 G^2 m^5 /  [ n h/(2 Pi)]^2    = - 2.18x 10^-204 s^5/ n^2 joul      (22)                                                               

     Energia calkowita jest ujemna co jest typowe dla stanu zwiazanego obu fotonow. Energia stanu  zwiazanego na pierwszej orbicie jest  bardzo mala. To jednak jak bardzo, zalezy od czestotliwosci promieniowania s (patrz https://en.wikipedia.org/wiki/Ultra-high-energy_gamma_ray )
Foton ultra-wysokiej energii posiada s rzedu 10 ^32 Hz  i wiecej co pozwala na podwyzszenie energii wiazania fotonow. W kazdym jednk razie energia grawitacyjnego wiazania fotonow w dimery badz tez  jakies wielo-fotonowe struktury zwiazane jest niewielka i twory takie, jesli istnieja, to pojawia sie wylacznie w temperaturach bardzo bliskich zera bezwzglednego.

     Identyczne wyniki dostajemy jesli wyeliminujemy r z  wyrazenia (13) i zminimalizujemy hamiltonian wzgledem predkosci orbitalnej przy zadanym i stalym momencie pedu.

Niezwykle male masy fotonow powoduja efekt, ktorego nie przewidywalem. Mianowicie odleglosc wzgledna obu fotonow w stanie zwiazanym moze byc astronomiczna . Za to niezwykle mala jest predkosc ruchu fotonow na orbicie. Wyglada na to, ze fotony moga byc zwiazane i niemal nieruchome wzgledem siebie w przestrzeni (splatane?). 

    Istnienie stanow zwiazanych fotonowego dimeru mowi nam tez, ze widmo promieniowania grawitonow generowane przy przeskoku dimeru z jednej orbity na druga jest dyskretne. O ile wiem dopiero w latach ostatnich uzyskano doswiadczalne  dowody istnienia fal grawitacyjnych. Jak sie te fale mierzy - tego nie wiem. Ale moge przewidziec, ze czeka nas jeszcze odkrycie widma dyskretnego promieniowania grawitacyjnego zwiazanego z emisja z dipoli badz wiekszych aglomeratow fotonow w stanie zwiaznym (o tych napisze pozniej) grawitonow o okreslonej czestotliwosci oraz o dyskretnej energii. Dla omawianego wyzej dimeru energia grawitonu wyslana w wyniku przeskoku z orbity m na orbite n -ta jest dana wzorem (podobnym do tego jaki wystepuje w teorii widm atomowych)

    h z = -  8G^2 m^2 / (h/(2 Pi)) ^2 [ 1/n^2 - 1/m^2]      (23)

gdzie z jest czestotliwoscia zwiazana z energia kwantu pola grawitacyjnego (grawitonu). Czestotliwosc  drgan fali grawitacyjnej  jest okreslona wzorem (przy przejsciu z orbity n do  m-tej)

    z = A(s) [ 1/n^2 - 1/m^2]            (24)

gdzie stala A (zalezna od czestosci fotonu s) - rozwazamy tu tylko fotony identyczne (co do koloru)-
wyraza sie wzorem

       A(s) = Pi^2 G^2 h^3 /c^10  s^5 = 2.18 x 10^-204  s^5  Hz

Grawitony wysylane w wyniku przejsc pomiedzy orbitami par fotonowych maja wiec bardzo mala czestosc (rzedu 10^-39 Hz) a wiec i mala energie.


Przedstawione wyzej obliczenia sa wynikiem badan wlasnych autora.