Poprawiam Plancka

   W poprzednich wpisach (https://bobolowisko.blogspot.com/2018/10/co-u-diabla-z-ta-szybkoscia-swiatla.html)https://bobolowisko.blogspot.com/2018/10/co-u-diabla-z-ta-szybkoscia-swiatla.html
omawialem rozne konsekwencje mojego nowego podejscia do problemu fotonu. Przypomne tu, ze w mojej opinii foton to poruszajaca sie w przestrzeni jednostka pola elektromagnetycznego o skonczonych rozmiarach (rzedu dlugosci fali L= c/s) . Ta podstawowa jednostka ma energie wewnetrzna - znana tez jako energia zerowa- wynoszaca 1/2 h s oraz energie kinetyczna wynikajaca z ruchu tej jednostki. Dla fotonu w prozni energia kinetyczna wynosi takze 1/2 h s co powoduje, ze cala energia fotonu wyemitowanaego przez "dzialo fotonowe" - czyli atom w stanie wzbudzonym badz przez nukleony jadra atomu- wynosi h s. Ale w roznych ukladach odniesienia poruszajacych sie wzgledem "dziala" kinetyczna energia fotonu jest rozna od 1/2 h s. To powoduje obserwowane "przesuniecia" ku czerwieni bardz ku fiolecie czyli zmniejszanie sie badz zwiekszanie energii kinetycznej fotonu. Energia zerowa pozostaje niezmienna gdyz stanowi ona "energie spoczynkowa" fotonu czyli energie jaka ma foton w inercyjnym ukladzie odniesienia poruszajacym sie po jego trajektorii z szybkoscia swiatla.

     W moim podejsciu foton jest czyms w rodzju pszczolki. Ta porusza sie w ogrodku i stad ma energie kinetyczna. Pszczolka ma tez jednak " zycie wewnetrzne "- procesy fizjologiczne przebiegajace wewnatrz owada  stanowiace jej "energie zerowa".  Taki model sugeruje, ze foton moze poruszac sie w przestrzeni z predkoscia rozna od predkosci swiatla w prozni. Predkosc ta moze byc wieksza od c badz mniejsza. Mozemy sie o tym przekonac (ale ja osobiscie nie widzialem aby ktokolwiek w podrecznikach mechaniki kwantowej tak podchodzil do zagadnienia) rozwazajac  problem widma promieniowania ciala doskonale czarnego. Jest to problem, na ktorym zrobil kariere Max Planck. Typowe wyprowadzenie formuly na intensywnosc promieniowania ciala doskonale czarnego zaczyna sie od odpowiedzi na pytanie jaka jest srednia energia fotonu promieniowania o czestotliwosci s  bedacego w rownowadze termicznej z buforem cieplnym o temperaturze T. Przyjmujemy, ze foton moze byc modelowany jako  kwantowy oscylator harmoniczny o energii

        E(n) = h s (n +1/2)

Jest to wzor na n-ty poziom energetyczny oscylatora posiadajacego energie zerowa wynoszaca
 1/2 h s. Swego czasu zajmowalem sie liniowym oscylatorem harmonicznym

https://bobolowisko.blogspot.com/2013/05/kolorowy-plaszcz-jozefa-i-nedza-nauki.html(https://bobolowisko.blogspot.com/2013/06/jeszcze-troche-o-mechanice-kwantowej.html,
https://bobolowisko.blogspot.com/2012/04/kwantowe-niespodzianki.html

i do tych artykulow odsylam czytelnikow ciekawych w jaki sposob dostaje sie powyzszy wynik.
Zasluga Plancka bylo tu przyjecie, ze energia takiego oscylatora (a wiec i fotonu) nie moze przyjac wartosci dowolnej (czyli energia nie moze byc wielkoscia ciagla)  ale musi byc calkowita wielokrotnoscia podstawowego kwantu energii wynoszacego h s. Pozniej dodano takze "energie zerowa" wynoszaca 1/2 h s.  Ten ostatni krok jest w gruncie rzeczy blogoslawienstwem "mieszanym" bowiem mowi takze i to , ze oscylator nie moze nigdy osiagnac stanu nieruchomego czyli stanu spoczynku wzgledem pewnego ukladu odniesienia.  To zas pozostaje w sprzecznosci z doswiadczeniem (w skali makroskopowej) oraz kloci sie z pierwsza zasada dynamiki (Jezeli na cialo nie dziala zadna sila, badz jesli wypadkowa sil znika to cialo pozostaje w spoczynku lub porusza sie ruchem jednostajnym) . W przypadku fotonu taka energia zerowa istnieje - jest nia bowiem (jak wiemy teraz dzieki mojemu modelowi) energia drgania pola elektromagnetycznego w ukladzie odniesienia, w ktorym ten foton spoczywa.  Ale ogolnie nie ma powodu aby kwantowy punkt materialny nie mogl spoczywac na dnie parabolicznej studni potencjalu . Moim zdaniem zasada nieoznaczonosci Heisenberga jest przeceniana jako prawo przyrody. Istnieja, rzecz jasna, naturalne ograniczenia w okreslaniu pedu lub polozenia obiektow mikroskopowych. Sa to jednak ograniczenia praktyczne a nie teoretyczne.
    Wracajac jednak do problemu "termalizacji" fotonu musimy znalezc rozklad energii fotonu jaki pojawia sie w emisji ciala doskonale czarnego o danej temperaturze. Dla ustalonej czestotliwosci s foton ma zawsze energie zerowa 1/2 h s wynikajaca z jego wewnetrznego pola elektromagnetycznego oraz zmienne energie kinetyczne w  stopniowanej wysokosci h s , 2 h s , 3 h s , itd . Jakie sa prawdopodobienstwa wystapienia takich energii ruchu postepowego fotonu to mozemy ustalic stosujac metode generacji rozkladu prawdopodobienstwa w stanie rownowagi jaka uzywa sie dosyc powszechnie w mechanice statystycznej. Dobry wyklad takiego wyprowadzenia podaje na przyklad Ya. P. Terlecki w podreczniku "Fizyka Statystyczna" , PWN W-wa 1968  Rozdz. VI. Ze wzgledu na to, ze chwilowo pomijamy wzajemne oddzialywanie pomiedzy fotonami mozemy rozwazac termalizacje pojedynczego liniowego oscylatora harmonicznego. Jesli zas dodatkowo przyjmiemy, ze oscylator moze miec energie stanowiaca dowolna wielokrotnosc energii kwantu h s (czyli n h s  gdzie n=0,1,2, ...Infinity) to uzyskamy dla funkcji rozdzialu (sumy statystycznej) fotonu stosunkowo proste wyrazenie

         Z( T, s) =  Exp[-h s /(2 kT)]/{1 - Exp[-h s/ (kT)]}

gdzie k to stala Boltzmanna a T to temperatura buforu cieplnego.  Energia swobodna fotonu  jest zwiazana z powyzsza suma stanu wyrazeniem


      F(T, s) = - kT Ln Z(T,s)=  h s/2 + kT  Ln {1 - Exp[-hs/(kT)]}



Jest to takze wzor na potencjal chemiczny fotonu, ktory zazwyczaj przyjmuje sie (blednie moim zdaniem) za rowny zeru.

    Stosujac dalej powszechnie przyjete postepowanie dostajemy nastepujace wyrazenie dla sredniej energii oscylatora

          E(T,s) = h s/2 + h s /{exp[hs/( kT)] - 1}

Pierwszy czlon po stronie prawej to oczywiscie "energia zerowa" fotonu-oscylatora . Czlon nastepny zas to srednia energia kinetyczna ruchu postepowego fotonu. Zauwazmy, ze relatywistyczna masa fotonu jest suma relatywistycznych mas zwiazanych z energia zerowa (czyli polem elektromagnetycznym) oraz energia kinetyczna ruchu postepowego. Graniczne formy powyzszej formuly to:

dla hs/(kT) dazacego do zera (przy ustalonym s)  E(T,s) = 1/2 hs  +kT

dla hs/(kT) dazacego do nieskonczonosci             E(T,s) = 1/2 hs + hs Exp[-hs/(kT)] ~ 1/2 hs

Pierwsza  granica odpowiada przyblizeniu klasycznemu Rayleigha -Jeansa a druga przyblizeniu Wiena.


 Mozemy wiec zapytac jaka jest predkosc ruchu termalizowanego fotonu czyli srednia predkosc fotonu bedacego w termicznej rownowadze z z buforem ciepla.  Przyjmujac, ze kinetyczna energia takiego fotonu jest dana wyrazeniem

    0.5   m(rel) w^2  =  h s /{exp[hs/( kT)] - 1}

otrzymujemy

       w/c = 2/ {Exp[h s /(kT)] +1}^(1/2)

Tutaj w symbolizuje predkosc termiczna fotonu w ruchu postepowym.

Wykres w/c jako funkcji h s/(kT) podany jest nizej. Jak widzimy ztermalizowany foton moze miec predkosci zarowno mniejsze jak i wieksze od predkosci swiatla w prozni.W szczegolnosci dla
malych wartosci h s/(kT)  mamy w/c =2^(1/2) czyli predkosc wieksza od predkosci swiatla w prozni a  dla h s /(kT) nieskonczenie duzych w/c = 0  czyli foton spoczywa (w ukladzie odniesienia zwiazanym z buforem ciepla). Postac ogolna funkcji w/c podaje na wykresie.

Jak widac nie ma powodu aby uwazac, ze predkosc fotonu jest zawsze stala i wynoszaca c dla wszystkich ukladow odniesienia. To samo zreszta mowia nam wyniki przesuniec do czerwieni badz ku fioletowi widm dyskretnych w swietle promieniowan gwiezdnych. Przesuniecie lini widmowej ku czerwieni oznacza, ze mamy do czynienia z fotonem o nizszej energii niz ta jaka widzimy w ukladzie nieruchomym na Ziemi. To zas oznacza nizsza energie kinetyczna fotonu bo jego energia zerowa nie jest zmienna. Podobnie przesuniecie prazka widmowego ku fioletowi oznacza, ze foton ma energie wieksza niz "normalna" a wiec ma wieksza niz normalna energie ruchu postepowego. Te przesuniecia interpretujemy jako wyniki oddalania sie (przesuniecie do czerwieni) badz zblizania sie (przesuniecie ku fioletowi)  gwiazdy ku obserwatorowi. Przesuniecia widma ku czerwieni interpretujemy czesto jako swiadectwo "ucieczki" galaktyk zgodnie z teoria wielkiego wybuchu. Jest to typowy efekt Dopplera wynikajacy ze roznych wzglednych predkosci emitera wzgledem rejestratora. Musze tu jednak dodac, ze zjawisko to moze byc tez wytlumaczone przez przyjecie, ze "stala" Plancka miala rozne wartosci w roznych okresach czasu (https://bobolowisko.blogspot.com/2012/02/legendy-astrofizykow.html ).

    Oczywiscie wyprowadzenie formuly koncowej na gestosc energii promieniowania emitowanego przez cialo doskonale czarne dla dowolnych czestosci wymaga pomnozenia wyrazenia na srednia energie fotonu przez formule wyrazajaca gestosc fotonow o okreslonej czestotliwosci s na jednostke objetosci

 g(s) =  4s^2/ c^3

oraz zcalkowanie calego wyrazenia w granicach od zera do nieskonczonosci. Ta ostatnia procedura powoduje pewna trudnosc jesli wezmiemy pod uwage to, ze wyraz pierwszy przy calkowaniu  E(T,s), stanowiacy energie zerowa ma wartosc nieskonczona po scalkowaniu wzgledem czestosci s w granicach od zera do nieskonczonosci .  Jest to wynik i klopotliwy i niefizyczny co powoduje,  ze jest w wiekszosci podrecznikow "po cichu" pomijany. Brak jest jednak logicznego wytlumaczenia takiego postepowania i co wiecej obecnosc energii zerowej jest czasem niezbedna . Jak pisze Terlecki, jeden z nielicznych autorow, ktorzy nie "zamiatali trudnosci pod dywan": " Interesujacy jest fakt, ze ten niewyjasniony w teorii kwantowej paradoks drgan zerowych powstal juz na samym poczatku jej tworzenia przy logicznym wyprowadzeniu wzoru Plancka stanowiacego poczatek calej teorii kwantowej. " (op.cit str 202).
   Mozemy usunac niefortunna nieskonczonosc jesli zauwazymy, ze powyzej pewnej energii foton staje sie niestabilny wzgledem tworzenia par. Para elektron-pozytron moze sie pojawic powyzej czestosci

 s(kryt.) = 2 m(elektronu) c^2 /h  = 2.5 x10^20 Hz

Zastepujac granice calkowania przez { 0, s(kryt)} unikamy nieskonczonosci wynikajacej z wkladu energii zerowej nieskonczonej liczby fotonow. Gestosc energii fotonow w rownowadze s buforem ciepla wynosi

   u(s, T) = 4s^2/c^3 { h s/2 + hs/[Exp[hs/(kT)] -1}

Calkujac to wyrazenie w granicach od zera do s(kryt) otrzymamy wyrazenie skonczone ale zalezne od czestosci krytycznej .  Wyraz pierwszy, ktory uprzednio sprawial nam trudnosci ma teraz wartosc skonczona. Co wiecej mozemy zauwazyc, ze wartosc energii zerowej fotonow nie moze ulec zmianie. Liczba fotonow jest  zachowana. Jest to cos co mozemy identyfikowac jako "czarna energie" (dark energy) fotonu.  Aby bowiem cokolwiek zaobserwowac musi nastapic pewna wymiana energii pomiedzy obiektem mierzonym a rejestratorem.  W wyniku pomiarow mozemy jednak wylacznie zmieniac wartosc energii kinetycznej fotonu. Jest to powod dla ktorego klasyczny wzor Plancka wywodzil sie wylacznie z calkowania drugiego (termicznego) czlonu wyrazenia podanego wyzej i opisywal wyniki doswiadczalne calkiem poprawnie. Energia zerowa fotonow byla obecna ale nie mogla byc zarejestrowana przez pirometry. Moze ona jednak stanowic powod zwiekszonej gestosci materii towarzyszacej srodowisku promieniowaniu ciala doskonale czarnego.

Rozszerzajac powaznie powyzsza interpretacje mozemy wyobrazic sobie nasz Kosmos jako system gwiazd i innych obiektow "twardych" otoczonych przez plyn fotonowy w ktorym morza cieczy fotonowej o bardzo niskiej energii kinetycznej znajduja sie w rownowadze z para wolno poruszajacych sie fotonow o energii kinetycznej odpowiadajacej temperaturze okolo 3K . Ta para to wlasnie jest owo promieniowanie reliktowe izotropowo doplywajace do nas z przestrzeni kosmicznej. 

cdn

Powyzszy artykul jest fragentem badan wlsnych autora.